Les opérations vectorielles

Exercice 1
Soit deux vecteurs $\overrightarrow{A}\left(\begin{array}{r c l} x\ ;\ y\ ;\ z \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{B}\left(\begin{array}{r c l} x'\ ;\ y'\ ;\ z' \end{array}\right)$.
Donner le lien existant entre les vecteurs $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B}$ si $\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B}\ =\ \overrightarrow{0}$

Exercice 2
Si $\overrightarrow{AB}\ = 2\overrightarrow{i}\ -\ 3\overrightarrow{j}\ -\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{BC}\ =\ \overrightarrow{i}\ +\ 4\overrightarrow{j}\ -\ 2\overrightarrow{k}$.

1. Déterminer $\overrightarrow{AB}\ \wedge\ \overrightarrow{BC}$.
2. Que constatez vous?

Exercice 3
Dans un repére orthonormal ($\overrightarrow{i}$; $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$), on donne deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Les vecteurs sont définis avec les composantes : $\overrightarrow{u}$ $\left(\begin{array}{r c l} 1\ ;\ 1\ ;\ 1 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}$ $ \left(\begin{array}{r c l} 2\ ;\ 1\ ;\ 2 \end{array}\right)$.

1. Déterminer $\overrightarrow{u}\ \wedge\ \overrightarrow{v}$.
2. Que constatez vous?

Exercice 4
Soient les vecteurs $\overrightarrow{AB}\ =\ 3\overrightarrow{i}\ +\ 2\overrightarrow{j}\ -\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{BC}\ =\ 5\overrightarrow{i}\ +\ 5\overrightarrow{j}$

1. Déterminer $\overrightarrow{AB}\ \wedge\ \overrightarrow{BC}$.
2. Déterminer l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.
3. Soit le vecteur $\overrightarrow{C}$ défini $2\overrightarrow{i}\ +\ C_{y}\overrightarrow{j}\ +\ C_{z}\overrightarrow{k}$.
   Déterminer les composantes $C_{y}\ \text{et}\ C_{z}$ afin que les vecteurs$\overrightarrow{C}$ et $\overrightarrow{BC}$ soient parallèles.

Exercice 5
Nous avons les vecteurs $\overrightarrow{C}\ =\ 2\overrightarrow{i}\ -\ 6\overrightarrow{j}\ -\ 3\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{D}\ =\ 4\overrightarrow{i}\ +\ 3\overrightarrow{j}\ -\ \overrightarrow{k}$.

1. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{E}$. Tel que $\overrightarrow{E}$ soit perpendiculaire à $\overrightarrow{C}\ \text{et} \overrightarrow{D}$.
2. Déterminer l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{C}$ et $\overrightarrow{D}$.
3. Soit le vecteur $\overrightarrow{C}$ défini $2\overrightarrow{i}\ +\ C_{y}\overrightarrow{j}\ +\ C_{z}\overrightarrow{k}$.
   Déterminer les composantes $C_{y}\ \text{et}\ C_{z}$ afin que les vecteurs$\overrightarrow{C}$ et $\overrightarrow{BC}$ soient parallèles.