Les opérations vectorielles

Exercice 1
Dans un repére orthonormal ($\overrightarrow{i}$; $\overrightarrow{j}$), on donne les points A(5;1); B( 1; 3) C(4;-1)

1. Calculer les normes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$
2. Montrer que les droites (AB) et (AC) sont orthogonales.
3. Déterminer la valeur approchée de l'angle $\widehat{ABC}$.

Exercice 2
$\overrightarrow{v_{1}}(1\ ;\ 2)\ \overrightarrow{v_{2}}(-3\ ;\ 0)\ \overrightarrow{v_{3}} ( -1\ ; -1 )$

1. Déterminer les coordonnées du vecteur: $ \overrightarrow{w}\ =\ 3\overrightarrow{v_{1}}\ -\ 2 \overrightarrow{v_{2}}\ +\ 5.\overrightarrow{v_{3}} $
2. $\overrightarrow{{v_{1}}$ peut - il s'écrire sous la forme $ \overrightarrow{v_{1}}\ =\ x\overrightarrow{v_{2}}\ +\ y \overrightarrow{v_{3}}$

Exercice 3
\graphebis{scale=0.5}{./vecteurs/Fig-vecteur/BTS_vec_exo2.png}

1. Déterminer graphiquement les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{F_{1}}; \ \overrightarrow{F_{2}};\ \overrightarrow{F_{3}}$ dans le repère ($O\ ;\ \overrightarrow{i};\ \overrightarrow{j}$)
2. \textbf{Déduire} les coordonnées du vecteur : $\overrightarrow{R}\ =\ \overrightarrow{F_{1}}\ +\ \overrightarrow{F_{2}}\ +\ \overrightarrow{F_{3}}$
3. Donner la norme de $\overrightarrow{R}$

Exercice 4
Compléter les égalités vectorielles en utilisant la \textbf{relation de chasles} :\\

1. $\overrightarrow{SW}\ + \overrightarrow{WT} \ $
2. $-\overrightarrow{HA}\ -\ \overrightarrow{EH} \ - \ \overrightarrow{AB}\ -\ \overrightarrow{DE}\ $
3. $\overrightarrow{HD} \ - \ \overrightarrow{ED}\ - \ \overrightarrow{GB} \ - \overrightarrow{BE} \ $
4. $ \overrightarrow{DB}\ -\ \overrightarrow{JG}\ -\ \overrightarrow{GB} \ - \ \overrightarrow{BB} $
5. $-\overrightarrow{JH} \ - \ \overrightarrow{BJ}\ - \ \overrightarrow{IF} - \ \overrightarrow{FB} $
6. $\overrightarrow{HD} \ - \ \overrightarrow{ED}\ - \ \overrightarrow{GB} \ + \overrightarrow{BE}$
7. $-\overrightarrow{HF}\ -\ \overrightarrow{CF} - \ \overrightarrow{FA} \ - \ \overrightarrow{AH} $
8. $ -\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CF}\ -\ \overrightarrow{BB} \ - \ \overrightarrow{GB} $
9. $ - \overrightarrow{FC} \ - \ \overrightarrow{EF} \ - \ \overrightarrow{CI} \ - \ \overrightarrow{CE}$

Exercice 5
Dire si les affirmations sont vraies ou fausses. (Si elles sont fausses, corriger les affirmations) \\ \graphebis{scale=0.5}{./vecteurs/quadri1.png} \begin{multicols}{3}

1. $\overrightarrow{AK}\ +\ \overrightarrow{JR}\ =\ \ \overrightarrow{AS}$
2. $\overrightarrow{HN}\ -\ \overrightarrow{JQ}\ =\ -\ \frac{1}{3}.\overrightarrow{DA}$
3. $2.\overrightarrow{GL}\ +\ 3.\overrightarrow{AE}\ =\ 5.\overrightarrow{AF}$
4. $\overrightarrow{EK}\ +\ \overrightarrow{PH}\ =\ \overrightarrow{EH}$
5. $\overrightarrow{VK}\ -\ \overrightarrow{AB}\ +\ \overrightarrow{BI}\ =\ \overrightarrow{ZS}$
6. $4.\overrightarrow{MI}\ -\ 3.\overrightarrow{BC}\ =\ \overrightarrow{ZE}$
7. $\frac{1}{3}.\overrightarrow{PA}\ -\ 3.V{OS}\ =\ \overrightarrow{SF}$
8. $\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}\ +\ \frac{3}{2}.\overrightarrow{EM}\ =\ \overrightarrow{FP}$
9. $\frac{1}{2}.\overrightarrow{IS}\ +\ \frac{3}{4}.\overrightarrow{AQ}\ =\ \overrightarrow{GP}$

Exercice 6
Soit $ ABC$ un triangle quelconque. On considère les points $ D $ et $E$ tels que : $$ \overrightarrow{AD}\ =\ \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} \ et \ \overrightarrow{DE}\ =\ \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$$

1. \textbf{Représenter} le triangle ABC.
2. Placer les points $E$ et $D$.\\
3. Montrer que $\overrightarrow{AE}\ =\ \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.
4. Conclure sur les points $A$, $E$ et $C$ ?

Exercice 7
Soient A et B deux points distants de 1,5 cm.

1. Construire le point C tel que $\overrightarrow{BC}\ = \frac{5}{2}\overrightarrow{AB}$.
2. Construire le point D tel que $\overrightarrow{AD}\ =\ \frac{4}{3}\overrightarrow{AB}$
3. Démontrer la relation de colinéarité entre les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$.
4. En déduire la longueur du vecteur CD en cm

Exercice 8 Cela ressemble à de la mécanique:
Dans le repère ($O\ ;\ \overrightarrow{i};\ \overrightarrow{j}$) le vecteur $\overrightarrow{F}$ est représenté: \graphebis{scale=0.2}{./vecteurs/Fig-vecteur/exo-2.png}

• avec $ \theta\ =\ \frac{\pi}{6}$
• avec $ \theta\ =\ \frac{\pi}{4}$
• avec $ \theta\ =\ \frac{\pi}{3}$

1. Donner les composantes du vecteur $\overrightarrow{F}$
2. Déterminer $F_{x}$ et $F_{y}$ si $||\overrightarrow{F}||\ = \ 100$\\

Exercice 9 Produit scalaire
On donne $||\overrightarrow{u}||\ =\ 2$; $||\overrightarrow{v}||\ =\ 3$; $\theta\ =\ \frac{\pi}{3}$ Calculer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.\\

Exercice 10
On donne $||\overrightarrow{u}||\ =\ 1$; $||\overrightarrow{v}||\ =\ 3$; $\theta\ =\ \frac{2.\pi}{3}$ Calculer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.

Exercice 11
Donner la valeur approchée, en degrés, arrondie à $10^{-2}$ de $\theta$ avec : $||\overrightarrow{v}||\ =\ 5$; $||\overrightarrow{w}||\ =\ 8$; $\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}\ =\ -10$

Exercice 12 Travail d'une force
\graphebis{scale=0.3}{./vecteurs/Fig-vecteur/exo-3.png}\\ Calculer le travail W de la force $\overrightarrow{F}$ avec $||\overrightarrow{F}||$ = 50 et AB = 2,50 et $\alpha$ = 30°. La voiture est déplacée d'une distance de 10 m par l'action de quatre forces $\overrightarrow{F_{1}}$, $\overrightarrow{F_{2}}$, $\overrightarrow{F_{3}}$, $\overrightarrow{F_{4}}$.\\ On dispose des données suivantes:

• $\overrightarrow{F_{1}}$ = 300 N, $(\overrightarrow{F},\overrightarrow{AB})$ = 45°
• $\overrightarrow{F_{2}}$ = 200 N, $(\overrightarrow{F},\overrightarrow{AB})$ = 0°
• $\overrightarrow{F_{1}}$ = 300 N, $(\overrightarrow{F},\overrightarrow{AB})$ = 0°
• $\overrightarrow{F_{1}}$ = 250 N, $(\overrightarrow{F},\overrightarrow{AB})$ = 0°

Déterminer la force la moins efficace.

Exercice 14
On a un triangle ABC rectangle en A. On donne les longueurs AB = 5 cm, AC = 3 cm

1. Déterminer la longueur BC.
2. Déterminer les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCA}$.

Exercice 15
On donne les vecteurs $\overrightarrow{u}$ (2; -1) et $\overrightarrow{v}$ (1; 3) Calculer $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ ; $||\overrightarrow{u}||$ ; $||\overrightarrow{v}||$ et $\cos(\theta)$