Listes des Chapitres
Cours : Polycopié
Page Web : Les vecteurs
Page Web : Le produit scalaire
Page Web : Le produit vectoriel
Exercices vecteurs
Exercices produit scalaire
Exercices produit vectoriel
Exos Sup : opérations Vecteurs
Exos Sup : Scalaire
Exos Sup : Produit Vectoriel
Les opérations vectorielles
Introduction
En mécanique, les vecteurs sont utilisés pour représenter les forces $ \overrightarrow{F}$, les moments ($\overrightarrow{M}$), les vitesses ($\overrightarrow{v}$), les accélérations ($\overrightarrow{a}$).
Vecteur
: Un
vecteur
est défini par :
Direction :
vertical, horizontal, diagonal
Sens :
droite ou gauche, haut ou bas
Norme :
longueur
Soit $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ un repère de l'espace
Pour tout point $M$ de l'espace il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tels que $$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$$ On dit alors que le point $M$ a pour composantes $(x ; y ; z)$ que l'on note $M\left(\begin{array}{r c l} x\ ;\ y\ ;\ z \end{array}\right)$
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Calcul vectoriel
On considère deux points de l'espace : $$A \left(\begin{array}{r c l} x_A\ ;\ y_A\ ;\ z_A \end{array}\right)\ et \ B \left(\begin{array}{r c l} x_B\ ;\ y_B\ ;\ z_B \end{array}\right)$$
$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées
$$\left(\begin{array}{r c l} x_B\ -\ x_A\ ;\ y_B\ -\ y_A\ ;\ z_B\ -\ z_A \end{array}\right)$$
le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées
$$\left(\begin{array}{r c l} \dfrac{x_B\ +\ x_A}{2}\ ;\ \dfrac{y_B\ +\ y_A}{2}\ ;\ \dfrac{z_B\ +\ z_A}{2} \end{array}\right)$$
si le repère est orthonormal, alors la \textit{norme} (longueur) du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est:
$$||\overrightarrow{AB}||\ =\ AB\ =\ \sqrt{{(x_B-x_A )}^{2}\ +\ {(y_B-y_A)}^{2}\ +\ {(z_B-z_A)}^{2} }$$
Égalité de vecteurs
Vecteur égaux
: Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont
égaux
si et seulement si les deux vecteurs ont :
même
Direction
même
Sens
même
Norme
On note alors $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{DC}$.
Remarque :
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ si et seulement si $A=B$,
Si on fixe un point $O$, alors pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$, il existe un unique point $M$ vérifiant $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OM}$.
Opposé d'un vecteur
Vecteur opposé
: Quels que soient les points $A$ et $B$, le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est appelé
vecteur opposé
au vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Remarque :
Si $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AB}$, alors $-\overrightarrow{u} =\overrightarrow{BA}$.
Somme de deux vecteurs
Si les composantes de $\overrightarrow{u}$ sont $\left(\begin{array}{r c l} X_u\ ;\ Y_u\ ;\ Z_u \end{array}\right)$ Les composantes de $\overrightarrow{v}$ sont $\left(\begin{array}{r c l} X_v\ ;\ Y_v\ ;\ Z_v \end{array}\right)$. On définit le vecteur $\overrightarrow{w}\ =\ \overrightarrow{u}\ +\ \overrightarrow{v}$ de la façon suivante : Alors les composantes du vecteur $ \overrightarrow{w}$ sont $\left(\begin{array}{r c l} X_{u} + X_{v}\ ;\ Y_{u} + Y_{v}\ ;\ Z_{u} + Z_{v} \end{array}\right)$
Relation de Chasles
: Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan, on a $\overrightarrow{AB}\ +\ \overrightarrow{BC}\ =\ \overrightarrow{AC}$.
Quels que soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ du plan, on a :
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w} =\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0} =\overrightarrow{u}$.
Multiplication d'un vecteur par un nombre réel
Soit $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AB}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul, on définit le vecteur $\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AC}$ par :
$A$, $B$ et $C$ sont alignés
si $k>0$, $\overrightarrow{AC}\ =\ k\overrightarrow{AB}$ , $B$ et $C$ sont du même côté par rapport à $A$
Si $k<0$, $\overrightarrow{AC}\ =\ k\overrightarrow{AB}$, $B$ et $C$ sont de part et d'autre de $A$
Quels que soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et les réels $k$ et $l$ , on a :
$k(\overrightarrow{u}\ +\ \overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u}\ +\ k\overrightarrow{v}$
$(k+l)\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{u}\ +\ l\overrightarrow{u}$
$k(\lambda\overrightarrow{u})\ =\ (k.\lambda)\overrightarrow{u}$
$k\overrightarrow{u}\ =\ \overrightarrow{0} \Longleftrightarrow k=0$ ou $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{0}$
Colinéarité
Vecteur colinéaire
: Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont
colinéaires
s'il existe un réel $k$ non nul tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.