Cours de M.AOUADI

produit scalaire
On considère les deux vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r c l} x\ ;\ y\ ;\ z \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{r c l} x'\ ;\ y'\ ;\ z' \end{array}\right)$, le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ est le réel : $$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\ =\ x.x'\ +\ y.y'\ +\ z.z'$$

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r c l} x\ ;\ y\ ;\ z \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{r c l} x'\ ;\ y'\ ;\ z' \end{array}\right)$, le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ est noté :

$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\ \ =\ x.x'\ +\ y.y'\ +\ z.z'$
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\ =\ ||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||.\cos(\theta)$
$\theta$ : représente l'angle entre les deux vecteurs $\overrightarrow{u}\ \text{et}\ \overrightarrow{v}$

Démonstration

Remarque :
Cette relation peut permettre de déterminer l'angle géométrique entre deux vecteurs connaissant leurs normes et leurs produits scalaire. $$ \cos(\theta)\ =\ \frac{x.x'\ +\ y.y'\ +\ z.z'}{||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||} $$

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls et trois points $O$, $A$ et $B$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

$(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux : on notera $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}$

Les opérations vectorielles

Produit scalaire

Démonstration