Les opérations vectorielles

Exercice 1
Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r c l} 1\ ;\ 2\ ;\ -3 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{r c l} 2\ ;\ 1\ ;\ 5 \end{array}\right)$

1. Dire si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
   (Justifier votre réponse)
2. Dire si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
   (Justifier votre réponse)
3. Déterminer l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$
4. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{w}$ perpendiculaire aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Exercice 2
on considère un triangle ABC avec $A\left(\begin{array}{r c l} 2\ ;\ -1\ ;\ 1 \end{array}\right)$, $B\left(\begin{array}{r c l} 1\ ;\ -3\ ;\ -5 \end{array}\right)$ et $C\left(\begin{array}{r c l} 3\ ;\ -4\ ;\ -4 \end{array}\right)$.

2. Déterminer les longueurs des côtés du triangle ABC.
3. Déterminer une mesure des différents angles du triangle ABC.

Exercice 3
Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
Déterminer $\overrightarrow{u}\ \wedge\ \overrightarrow{v}$ pour les vecteurs suivants.

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r c l} 1\ ;\ -1\ ;\ 1 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{r c l} -2\ ;\ 3\ ;\ 1 \end{array}\right)$
$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r c l}-1\ ;\ 1\ ;\ 2 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{r c l} 1\ ;\ 0\ ;\ -1 \end{array}\right)$
2. $\overrightarrow{u}\ =\ 4\overrightarrow{i}\ +\ 3\overrightarrow{j}\ + \ 6\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{v}\ =\ 2\overrightarrow{i}\ +\ 5\overrightarrow{j}\ -\ 3\overrightarrow{k}$
$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r c l} 2\ ;\ -1\ ;\ 5 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{r c l} 3\ ;\ 7\ ;\ 6 \end{array}\right)$

Exercice 4
Soit $\overrightarrow{u}\ =\ \left(\begin{array}{r c l} 1\ ;\ -2\ ;\ 3\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\ =\ \left(\begin{array}{r c l} 2\ ;\ 4\ ;\ 5 \end{array}\right)$

1. Déterminer l'angle entre ces deux vecteurs.
2. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{w}$ tel que $\overrightarrow{w}$ soit perpendiculaire aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
3. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{m}$ tels que les vecteurs $\overrightarrow{m}$ et $\overrightarrow{u}$ soient colinéaires

Exercice 5
Soient $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r c l} 2\ ;\ -3\ ;\ 4 \end{array}\right)$ ; $\overrightarrow{v}\ =\ 3\overrightarrow{i}\ +\ \overrightarrow{j}\ -\ 2\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}\ =\ \overrightarrow{i} \ +\ 5\overrightarrow{j}\ +\ 3\overrightarrow{k}$

1. Déterminer le vecteur $\overrightarrow{m}\ =\ 2\overrightarrow{u}\ -\ 3\overrightarrow{v}\ +\ 4\overrightarrow{w}$
2. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{n}$ tel que $\overrightarrow{n}$ soit perpendiculaire aux vecteurs $\overrightarrow{m}$ et $\overrightarrow{v}$.
3. Vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{m}$ sont bien orthogonaux. (justifier votre réponse)