Fonction exponentielle
La fonction exponentielle, est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\exp(x)=e^x$, $e^x$ étant l'unique nombre réel positif dont le logarithme vaut $x$.
Activité
Tracer la fonction $\ln(x)$.
Tracer la fonction $\exp(x)$ ou $(e^{x})$.
graphique $\ln(x)$
Conséquences directes
indication
$\exp(x)>0$.
$\exp(1)\ =\ e^1$.
$\ln(e^x)=....................$.
$e^{\ln x}=....................$ pour $x>0$.
$x\in\ \mathbb{R}$ et $y=e^x \Longleftrightarrow y\in\ \mathbb{R}^*_+$ et $\ln(y)=x$.
Exponentielle
Soient $a$ et $b$ deux réels et $n$ est un entier relatif, alors :
Compétence : Maitriser les propriétés de l'exponentielle / logarithme
Simplifier une expression
Simplifier une expression avec la fonction exponentielle :
Indiquer la propriété que vous prenez :
$$\begin{align}
a)& \ \frac{e^{1+x}}{e^{x+2}} &b) \ \frac{e^{3x}+e^x}{e^{2x}+e^x} \\
c)& \ \left(\frac{e}{e^{-x}}\right)^4 &d) \ (e^{-x})^{3}\\
e)& \ (\frac{1}{e^{2x}} &f) \ e^{x}.e\\
g)& \ (\frac{e^{3x}}{e^{-x}}) &h) \ (\frac{e^{3x}}{e^{-x}})\\
i)& \ (\sqrt{e^{3x}.e^{-x}}) &j) \ e^{2x}.(e^{-2x} \ +\ 3e^{2x})\\
k)& \ e^{4x}\ +\ e^{-2x} \ +\ 3\\
\end{align}$$
Simplifier une expression
Simplifier une expression avec la fonction exponentielle :
Indiquer la propriété que vous prenez :
$$\begin{align}
a)& \ \ln(x\ +\ 1)\ -\ \ln(1) & b) \ \ln(x\ +\ 1)\ +\ \ln(2\ +\ x)& \\
c)& \ \ln(e^{-x}) & d) \ \ln(\frac{1}{e^{2x}})& \\
e)& \ \ln(2x)\ +\ ln(e)\ -\ \ln(5x) & f) \ \ln(3x) \ -\ ln(-x)& \\
g)& \ \ln\left(\frac{e}{e^{-x}}\right)^4 & h) \ \ln(\sqrt{e^{3x}.e^{-x}})& \\
\end{align}$$
Compétence : Répérer le domaine de définition de la fonction $\ln(x)$
Connaitre les propriétés de la fonction $\ln(x)$
Rappeler le domaine de définition $\mathcal{D_{f}}$ de la fonction $\ln(x)$
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D_{f}}$ des fonctions suivantes :
$$
\begin{align}
a)& \ \ln(x\ +\ 1)\ -\ ln(x) \quad \quad b) \ \ln\left(\frac{x\ +\ 1}{x}\right)\\
c)& \ \ln(x^{4}) \quad \quad \quad \quad \quad \quad d) \ \ln(1\ +\ x^{2})\\
e)& \ 2e^{-x}=\frac{4}{e^{x+1}} \quad \quad \quad \quad f) \ 2e^{-x}=\frac{1}{e^{x+1}}\\
\end{align}
$$
Niveau Acquisition Simplification d'une expression
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