Cours : Les limites 
Démonstration sur la fonction exponentielle
Fonction exponentielle réelle de base $e$
Propriété
Théorème unicité de la fonction $\exp$
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f '$ = $f$ et $f (0)$ = $1$ .
Démonstration de l'unicité:
Soit $h$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)\ =\ f(x).f(-x)$.
$\forall \ x \in \mathbb{R}$ , nous avons :
\begin{array}
\ h'(x) &= f'(x).f(-x)\ + \ f(x)\left ( -f'(-x)\right) \\
\Leftrightarrow\ &= f'(x).f(-x)\ -\ f(x).f'(-x) \\
\Leftrightarrow\ &= f(x).f(-x)\ -\ f(x).f(-x) \\
\Leftrightarrow\ &= 0
\end{array}
La fonction $h(x)$ est donc une constante.
Comme h(0) = f(0).f(0) = 1, on a pour tout réel $x$ $f(x).f(-x)\ =\ 1$.
La fonction $f$ ne peut pas s'annuler.
Propriété
Théorème Exponentielle
Pour tous réels $a , b \in \mathbb{R}^{2}$, nous avons $\exp(a\ +\ b)\ =\ \exp(a)\ .\ \exp(b)$
Démonstration :
- Soit $a$ $\in\mathbb{R}$
- Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ avec $f(x) \ =\ \frac{\exp(a + x)}{\exp(x)}$ ou $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+}$
Comme $f(x) \ =\ \frac{\exp(a + x)}{\exp(x)} $
\begin{array}
\Leftrightarrow\ &f'(x) \ =\ \frac{\exp(a + x).\exp(x)\ -\ \exp(x).\exp(a + x)}{\exp(x)^{2}} \\
\Leftrightarrow\ &f'(x) \ =\ 0\\
\Rightarrow\ &f(x) = k\ avec \ k\ \in\ \mathbb{R}\\
\end{array}
\begin{array}
\Leftrightarrow &\frac{\exp(a + x)}{\exp(x)} = k \\
Si\ x\ =\ 0 \Rightarrow &\frac{\exp(a)}{\exp(0)}\ = k \ avec\exp(0)\ =\ 1\\
\Leftrightarrow &\frac{\exp(a + x)}{\exp(x)}\ = \exp(a)\\
\Rightarrow & \ \exp(a)\ =\ k \\
\end{array}
On en déduit que $ \exp(a)\ =\ k $
Maintenant on sait que $ \frac{\exp(a + x)}{\exp(x)}\ =\ \exp(a)$
$$ \Rightarrow \exp(a\ + \ x)\ =\ \exp(x).\exp(a)$$