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Cours de Mathématiques

Cours : Les fonctions $\ln(x)$ et $\exp(x)$

Compétence : Résoudre une fonction $\exp(x)$
Pour résoudre une expression contenant l'exponentielle :
Méthode application
  1. Regrouper les expressions $\exp$ du même coté
  2. Regrouper les nombres de l'autre coté
  3. Appliquer la fonction $\ln$ à droite et à gauche du symbole ($=$)
Exemple
\begin{align} \ & 2.e^{2-x}\ =\ \frac{4}{e^{2x+1}} \\ \Leftrightarrow\ & 2.e^{2-x}.e^{2x+1}\ =\ \frac{4}{e^{2x+1}}.e^{2x+1} \\ \Leftrightarrow\ & e^{2-x}.e^{2x+1}\ =\ \frac{4}{2} \ &\quad\ & e^{a}.e^{b}\ =\ a^{a+b}\\ \Leftrightarrow\ & e^{(2-x)\ +\ (2x+1)}\ =\ 2 \\ \Leftrightarrow\ & e^{3+x}\ =\ 2 \\ \Leftrightarrow\ & \textcolor{red}{\ln}\left(e^{3+x}\right)\ =\ \ln(2) \ &\quad\ & \ln(e^{a})\ =\ a\\ \Leftrightarrow\ & 3+x\ =\ \ln(2) \\ \Leftrightarrow\ & x\ =\ \ln(2)\ -\ 3 \\ \end{align}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\begin{align} a)\ & \ e^{2-x}=e^x \ & b)\ & \ e^{2x+3}=1\\ c)\ & \ e^{5-x^2}=e \ & d)\ & \ e^{-x}=0\\ e)\ & \ 2e^{-x}=\frac{4}{e^x+1} \ & f)\ & \ 2e^{-x}=\frac{1}{e^x+1}\\ \end{align}

Résoudre les équations suivantes
\begin{align} a) \ &\ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7) \ &b)\ & \ln (x)^2-\ln x-42=0\\ c)\ & \ln(3+x)\ =\ \ln(3)\ +\ \ln(x) \ &d)\ & \ln(3x)\ =\ 3ln(x)\\ e)\ & \ln(x)\ +\ \ln(x-2)\ =\ \ln(x-10) \ &f)\ & \ln(2x+1)\ =\ \ln(3)+ln(1-x)\\ g)\ & \ln(x-1) \ +\ \ln(x-3)\ =\ \ln(3) \ &h)\ & 1000.(1,04)^{n}\ =\ 4500\\ i)\ & \ln(x+3) + \ln(x-1) \ =\ 2\ln(2) \ &j)\ & \text{Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation}\ 2,1^n\leq 3200\\ \end{align}
Résoudre les équations suivantes
\begin{align} a)\ & e^{3-x} = 1 \ & b) \ & e^{2x+1} = \ e^{7x+2}\\ c)\ & 2.e^{-x}\ =\ \frac{1}{e^{x} + 2} \ &d) \ & (e^{x})^{3}=e^{8} \\ e)\ & e^{x+1}=e^{\frac{1}{x}} \\ \end{align}