\begin{align}
\ & 2.e^{2-x}\ =\ \frac{4}{e^{2x+1}} \\
\Leftrightarrow\ & 2.e^{2-x}.e^{2x+1}\ =\ \frac{4}{e^{2x+1}}.e^{2x+1} \\
\Leftrightarrow\ & e^{2-x}.e^{2x+1}\ =\ \frac{4}{2} \ &\quad\ & e^{a}.e^{b}\ =\ a^{a+b}\\
\Leftrightarrow\ & e^{(2-x)\ +\ (2x+1)}\ =\ 2 \\
\Leftrightarrow\ & e^{3+x}\ =\ 2 \\
\Leftrightarrow\ & \textcolor{red}{\ln}\left(e^{3+x}\right)\ =\ \ln(2) \ &\quad\ & \ln(e^{a})\ =\ a\\
\Leftrightarrow\ & 3+x\ =\ \ln(2) \\
\Leftrightarrow\ & x\ =\ \ln(2)\ -\ 3 \\
\end{align}
Résoudre les équations suivantes
\begin{align}
a) \ &\ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7) \ &b)\ & \ln (x)^2-\ln x-42=0\\
c)\ & \ln(3+x)\ =\ \ln(3)\ +\ \ln(x) \ &d)\ & \ln(3x)\ =\ 3ln(x)\\
e)\ & \ln(x)\ +\ \ln(x-2)\ =\ \ln(x-10) \ &f)\ & \ln(2x+1)\ =\ \ln(3)+ln(1-x)\\
g)\ & \ln(x-1) \ +\ \ln(x-3)\ =\ \ln(3) \ &h)\ & 1000.(1,04)^{n}\ =\ 4500\\
i)\ & \ln(x+3) + \ln(x-1) \ =\ 2\ln(2) \ &j)\ & \text{Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation}\ 2,1^n\leq 3200\\
\end{align}