Cours : Les fonctions $\exp$ et $\ln$

Démonstration sur la fonction logarithme

Fonction logarithme népérien $\ln(x)$

Propriété

Théorème logarithme népérien
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, nous avons $\ln(ab)\ =\ \ln(a)\ +\ \ln(b)$.

Démonstration :

Soit $a$ $\in\mathbb{R}^{+*}$, c'est à dire $a$ > 0 .
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ avec $f(x) \ =\ \ln(ax)$ ou $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$

Comme $f(x) \ =\ \ln(ax)$
$$ \Leftrightarrow\ f'(x)\ =\ \frac{a}{ax}\ =\ \frac{1}{x} $$ Donc $\forall\ x\ \in\ \mathbb{R}^{+*},\ \exists$ une constante $k\ \in\ \mathbb{R}\ tel\ que\ \ f(x)\ =\ \ln(x)\ +\ k$
Si $x\ =\ 1\ \Rightarrow f(1)\ =\ \ln(1)\ +\ k $
On reprend l'expression de la fonction $f(x) \ = \ \ln(ax)$
\begin{align} \Leftrightarrow &f(1)\ =\ \ln(a)\\ \Leftrightarrow &\ln(a)\ =\ k \ avec\ \ln(1)\ =\ 0 \\ \Rightarrow \ln(ax)\ =\ \ln(x)\ +\ \ln(a) \end{align}

Fonction logarithme décimal

Propriété

Théorème logarithme décimal
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, nous avons $\log(ab)\ =\ \log(a)\ +\ \log(b)$

Démonstration :

Soit $a$ $\in\mathbb{R}^{+*}$, c'est à dire $a$ > 0 .
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ avec $f(x) \ =\ \log(ax)$ ou $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$

Comme $f(x) \ =\ \log(ax)\ =\ \frac{\ln(a.x)}{\ln(10)}$

$$\Leftrightarrow f'(x)\ =\ \frac{a}{a.x.\ln(10)}\ =\ \frac{1}{x.\ln(10)}$$ Donc $\forall\ x\ \in\ \mathbb{R}^{+*}, \exists$ une constante $k \in \mathbb{R}\ \text{tel que}\ f(x)\ =\ \frac{\ln(x)}{\ln(10)}\ +\ k\ \Rightarrow f(x)\ = \log(x)\ +\ k$
\begin{array} Si\ &x\ =\ 1\ \Rightarrow f(1)\ =\ \frac{\ln(1)}{\ln(10)}\ +\ k\\ \Leftrightarrow &f(1)\ =\ \log(a)\\ \Leftrightarrow &\log(a)\ =\ k \ avec\ \ln(1)\ =\ 0 \\ \Rightarrow &\log(ax)\ =\ \log(x)\ +\ \log(a) \end{array}