Fonctions dérivées

Exercice 1
Quand l'oreille d'une personne normale est soumise à une pression accoustique. L'intensité sonoré responsable du bruit est donnée par :
f(x) = 8,68.ln(x) + 93,28

• x correspond à la pression acoustique exprimée en (bars )
• f(x) correspond à l'intensité sonore exprimée en décibel (dB)

1. Elaborer une méthode permettant de déterminer le tableau de variation de f(x) :
2. Déterminer la dérivée de f'(x) :
3. Résoudre f'(x) = 0 :
4. Déterminer les limites de f(x) lorsque x tend vers $+\ infty$ :
5. Dresser le tableau de variation :
6. Déterminer l'intensité sonore en décibel permettant d'avoir une pression acoustique de 14 bars :
7. Résoudre l'équation f(x) = 120.
8. Une personne normale ne peut supporter un bruit supérieur à 120 décibels.
Déterminer la pression, en bars, que l'oreille de la personne subit si elle est soumise à une intensité sonore de 120 décibels :

Exercice 2 Evalution du taux d'alcoolémie
On se propose d'étudier ici l'évolution du taux d'alcoolémie d'une personne de petite corpulence ayant absorbé de l'alcool. Nous pouvons modéliser le taux d'alcoolémie en fonction du nombre d'heure écoulées. Par une fonction $f$, définie sur l'intervalle [0 ; 6] par : $$ f(x)\ =\ 3.xe^{-x} $$

• $f(x) $ est le taux d'alcoolémie de la personne exprimée en $g/L$
(grammes par litre).
• $x$ est le nombre d'heures écoulées depuis la fin du dernier verre d'alcool.

Problématique Déterminer le temps nécessaire pour reprendre la voiture aprés avoir bu de l'alcool.

Etude de fonction

1. Elaborer une méthode permettant de connaitre le sens de variations de la fonction :
2. Soit la fonction $f(x)\ =\ 3.xe^{-x} $.
Elaborer la formule permettant de dérivé la fonction f(x), à l'aide de l'annexe.
3. Déterminer l'expression de la dérivé $f(x)\ =\ 3.xe^{-x} $.
4. Déterminer lorsque $f'(x)\ =\ 0$.
5. Déterminer le tableau de signe de $f'(x)$.
6. Déterminer la limite de $f(x)\ =\ 3.xe^{-x} $ lorsque x tend vers 0.
7. Déterminer la limite de $f(x)\ =\ 3.xe^{-x} $ lorsque x tend vers $+\infty$.
8. Dresser le tableau de variation de la fonction f(x).

Application

1. Donner le niveau le plus élevé du taux d'alcoolémie de cette personne.
2. Donner le temps permettant d'atteindre ce niveau ?
3. Sachant que le maximun d'alcoolémie autorisé pour conduire un véhicule est de $0,5\ g/L$.
Donner l'heure à laquelle cette personne peut reprendre le volant sans enfreindre la loi, si elle a pris son dernier verre à 12h00 ?

Exercice 3 Chute libre
Pour fêter son BTS, un élève souhaite fait un baptême de chute libre. Il prend des renseignements sur le site https://air-mauss.com/blog/comment-faire-son-bapteme-de-chute-libre/. Avant de faire son saut, il cherche à se renseigner sur la vitesse de chute libre. Il voit dans un cours de physique qu'en tenant compte des forces de frottement l'équation horaire (c'est-à-dire l'équation représentant l'altitude en fonction du temps est donnée par la relation suivante : $$ z(t)\ =\ g.\tau^{2} \left (1\ -\ e^{\frac{-t}{\tau}} \right)\ -g.\tau.t\ +\ h$$

• $z(t) $ est l'altitude donnée à un instant t.
• $g$ est le champ de pesanteur de la Terre = 9,81 N/kg.
• $t$ est le temps.
• $\tau$ : $\frac{m}{K}$ avec K = 8,5

Problématique Déterminer l'altitude lorsqu'il aura atteint la vitesse maximale de chute libre.

1. Elaborer une méthode permettant de connaître la signification de h.
2. Déterminer l'équation si la chute libre commence à 4 000 m d'altitude pour un élève de ........ kg.

Etude de fonction

1. Réécrire la fonction avec x comme variable.
2. Elaborer une méthode permettant de connaitre le sens de variations de la fonction :
3. Soit la fonction $ f(x)\ =\ \frac{x^{2}\ + \ 3.x\ +\ 1}{8x\ +\ 3} $.
Elaborer la formule permettant de dérivé la fonction f(x), à l'aide des tableaux de dérivation.
4. Déterminer l'expression de la dérivé $ f(x)\ =\ \frac{x^{2}\ + \ 3.x\ +\ 1}{8x\ +\ 3}$.
5. Déterminer lorsque $f'(x)\ =\ 0$.
6. Déterminer le tableau de signe de $f'(x)$.
7. Déterminer la limite de $ f(x)\ =\ \frac{x^{2}\ + \ 3.x\ +\ 1}{8x\ +\ 3} $ lorsque x tend vers 0.
8. Déterminer la limite de $f(x)\ =\ \frac{x^{2}\ + \ 3.x\ +\ 1}{8x\ +\ 3} $ lorsque x tend vers $+\infty$.
9. Dresser le tableau de variation de la fonction f(x).
10. L'allure de votre courbe correspond-elle à votre tableau de variation ?

Application

1. Donner le maximun de probabilité pour que plusieurs personnes connaissent le nom du produit.
2. Donner le temps permettant d'atteindre ce niveau?
3. Donner le temps nécessaire pour que la probabilité atteigne 0,5 ?