Les limites

Exercice 1
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition I des fonctions f(x) :

1. $f(x) \ =\ - 3 x \ avec \ x \in \ \mathbb{R}$
2. $f(x)\ = \ -x^{2}\ +\ 1 \ avec \ x \in \ \mathbb{R}$
3. $f(x)\ = \ 2x^{2}\ +\ x \ +\ 1 \ avec \ x \in \ \mathbb{R}$
4. $f(x)\ = \ -2\ln(x) \ avec \ x \in \ ]0; \ +\infty[$
5. $f(x)\ =\ -\frac{1}{2}\ln(x) \ avec \ x \in \ ]0; \ +\infty[$
6. $f(x)\ =\ -2\exp(x) \ avec \ x \in \mathbb{R}$
7. $f(x)\ =\ x\ +\ \sqrt{x} \ avec \ x \in \ [0; \ +\infty[$
8. $f(x)\ =\ x.\sqrt{x} \ avec \ x \in \ [0; \ +\infty[$

Déterminer un domaine de définition

Exercice 2
Déterminer les limites en $+\infty$ des fonctions suivantes.

1. $f(x) \ =\ x^{2}\ -\ 2x\ +\ 2$
2. $g(x) \ =\ -2x^{2}\ +\ 4x\ +\ 16$
3. $h(x) \ =\ -x^{2}\ -\ 2x\ +\ 15$
4. $i(x) \ =\ 2x^{2}\ -\ 8x\ +\ 6$
5. $j(x) \ =\ (3-5x)^{2}$
6. $k(x) \ =\ -(x-3)(1-2x)$
7. $l(x) \ =\ (4-x^{2})(2-x)$
8. $m(x) \ =\ -2x^{3}\ -\ x^{2}\ +\ \frac{1}{x}$
9. $n(x) \ =\ \frac{\left( 5 - \frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}$

Exercice 3
Déterminer les limites en $-\infty$ des fonctions suivantes.

1. $f(x) \ =\ -2x^{3}\ +\ x^{2}$
2. $f(x) \ =\ 2x\ +\ 3\ - \ \frac{1}{x^{2}}$
3. $f(x) \ =\ -x^{2}\ -\ 2x\ +\ 15$

Préciser si la courbe représentative a une asymptote horizontale en $ + \infty$.

Exercice 4
Déterminer les limites en $a$ des fonctions suivantes.

1. $f(x) \ =\ 2x\ +\ 1\ \ + \ \frac{1}{x-3}$ pour $a$ = 3
2. $g(x) \ =\ 1x\ +\ 2\ \ + \ \frac{1}{4+x}$ pour $a$ = -4
3. $h(x) \ =\ \frac{1\ +\ x}{4\ +\ x}$ pour $a$ = -4
4. $i(x) \ =\ \frac{x^{2}\ -\ 6x\ +\ 9}{3x\ -\ 9}$ pour $a$ = 3
5. $j(x) \ =\ \frac{3x}{5\ -\ 2x}$ pour $a$ = -$\frac{5}{2}$
6. $k(x) \ =\ \frac{2x}{\sqrt{x\ +\ 2}}$ pour $a$ = -4
7. $l(x) \ =\ \frac{5\ -\ x}{\sqrt{x}\ -\ 2}$ pour $a$ = 4

Exercice 5
Déterminer la limite des fonctions suivantes:

1. $f(x) \ =\ \sqrt{e^{3x}\ -\ 1}$ pour $a$ = 0
2. $g(x) \ =\ \frac{e^{x}\ +\ 3}{e^{x} \ +\ 2}$ pour $a$ = $+\infty$
3. $h(x) \ =\ e^{x}.sin(x)$ pour $a$ = $-\infty$
4. $i(x) \ =\ e^{x}\ -\ x$ pour $a$ = $+\infty$
5. $j(x)\ =\ \ln\left(9\ -\ x^{2}\right)$ pour $a $ = 3
6. $k(x)\ =\ \ln\left(1\ -\ \ln(x)\right)$ pour $a$ = $e$
7. $l(x)\ =\ x\ -\ \ln(x)$, $a$ = $+\infty$
8. $m(x)\ =\ \frac{x^{2}}{\ln(x)}$, $a$ = 0
9. $n(x)\ =\ \left(2.x^{3}\ -\ 4x^{2}\right).e^{-x}$ pour $a$ = $-\infty$
10. $n(x)\ =\ \left(2.x^{3}\ -\ 4x^{2}\right).e^{-x}$ pour $a$ = $+\infty$
11. $o(x)\ =\ \frac{e^{3x}\ -\ 1}{x}$ pour $a$ = 0
12. $o(x)\ =\ \frac{e^{3x}\ -\ 1}{x}$ pour $a$ = $-\infty$
13. $o(x)\ =\ \frac{e^{3x}\ -\ 1}{x}$ pour $a$ = $+\infty$

Exercice 6
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- \infty; 3[ \cup ]3;- \infty[$ par $f(x)\ =\ \frac{2x^{2}\ -\ 3x\ -\ 7}{x\ -\ 3}$

1. Donner le domaine de définition de la fonction $f(x)$
2. Déterminer les trois réels $a; b; c$ tels que pour tout x différent de 3, on ait $f(x)\ =\ ax\ +\ b\ +\ \frac{c}{x\ -\ 3}$
3. Dire si la fonction $f(x)$ présente une asymptote d'équation $y\ =\ 2x\ +\ 3$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Exercice 7 Mise en situation

1. Un routier doit faire un trajet de 150 km. Si sa vitesse moyenne est $v \ en \ (km.h^{-1})$, alors sa consommation en gas-oil est $6\ +\ \frac{v^{2}}{300}$ litres par heure.
   Le gas-oil est de 0,6 euros le litre et le chauffeur est payé 11 euros de l'heure.
2. Déterminer la vitesse moyenne $v_{0}$ pour laquelle le coût du trajet est minimal et calculer ce coût.
   \textit{Remarque :} il est raisonnable de penser que $v$ peut varier de 30 à 100 $km.h^{-1}$
3. Déterminer les asymptotes de la courbes représentant la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par :
$$ f(x)\ =\ \frac{2190}{v}\ +\ 0,3v $$

Exercice 8
Déterminer les limites suivantes :

1. $\lim\limits_{x \to +\infty}~\left(-3x^2+4x+1\right)$
2. $\lim\limits_{x \to 2^-}~\left(\dfrac{x+3}{x^2-4}\right)$
3. $\lim\limits_{x \to -\infty}~\left(\dfrac{x^2-5x^4+3x-1}{x^4-x^2-1}\right)$
4. $\lim\limits_{x \to 0^+}~\left(\dfrac{x^2}{2}-x+1+\ln x\right)$
5. $\lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{x^3}{e^x}\right)$
6. $\lim\limits_{x \to -\infty}~\left(e^x+e^{-x}+\sqrt{2-3x}\right)$

Exercice 9
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k})$, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty~;-2~[~\cup~]-2~;~3~[~\cup~]~3~;+\infty~[$.
On a tracé sur le graphique les asymptotes à $\mathcal{C}_f$ (droites en pointillés), ainsi que les tangentes horizontales.

1. Déterminer les limites suivantes :
a) $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\ \quad$ b) $\lim\limits_{x\to-2^-}f(x)\ \quad$ c) $\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)$
d) $\lim\limits_{x\to3^-}f(x)\ \quad$ e) $\lim\limits_{x\to3^+}f(x)\ \quad$ f) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$
2. Donner les équations des différentes asymptotes.

Exercice 10
Soit $f$ la fonction définie sur $]~1~;+\infty~[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x-1}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k})$.

1. 1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
   2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$.
   3. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des asymptotes ? Si oui, en donner les équations.
2. 1. Montrer que $f(x)$ peut se mettre sous la forme que $f(x)=4+x+\dfrac{5}{x-1}$.
   2. En déduire que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote oblique $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation.
3. Etudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{D}$.