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Fonctions composées

Soient deux fonctions : $f$ définie de $I$ dans $J$ et $g$ de $J$ dans $\mathbb{R}$.
Si $ \lim\limits_{x \to a}f(x)\ =\ b \ \quad et \quad\ \lim\limits_{x \to b}g(x)\ =\ c\ \quad alors \quad \lim\limits_{x \to a}~(g\circ f)(x)\ =\ \lim\limits_{x \to a}g[f(x)]\ =\ c$.
Activite : fonctions composées
Calculer de "composition" de limites :
- $\lim\limits_{x \to -\infty}~e^{x+3}= $

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$ \lim\limits_{x \to -\infty}~(x+3)\ =\ -\infty \quad\ et \quad\ \lim\limits_{X\to -\infty}~e^X\ =\ 0\ \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to -\infty}~e^{x+3}=0$.

- $\lim\limits_{x \to +\infty}~\ln(2x+1)= $

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$ \lim\limits_{x \to +\infty}~(2x+1)\ =\ +\infty \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x \to +\infty}~\ln X\ =\ +\infty\ \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to +\infty}~\ln(2x+1)\ =\ +\infty$.

- $\lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x+4}= $

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$ \lim\limits_{x \to 0}~(x+4)\ =\ 4 \quad\ et \quad\ \lim\limits_{X\to 4}~\sqrt{X}\ =\ 2\ \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x+4}\ =\ 2$.

Calcul de limites dans les cas de formes forme indéterminée

Dans ce cas, toutes les situations sont a priori possibles : existence d'une limite finie, nulle ou non ; existence d'une limite infinie ; absence de limite.
Seule une étude particulière permet de lever l' indétermination.
Rappeler les cas d'indétermination des limites :

\begin{array} \hline \lim f(x) & \lim g(x) & \text{Limite indéterminée} & \text{type d'indétermination} \\ \hline .............. & .............. & .............. & ..............\\ \hline .............. & .............. & .............. & ..............\\ \hline .............. & .............. & .............. & ..............\\ \hline .............. & .............. & .............. & ..............\\ \hline \end{array}

\begin{array} \hline \lim f(x) & \lim g(x) & \text{Limite indéterminée} & \text{type d'indétermination} \\ \hline +\infty & -\infty & f(x)+g(x) & \infty - \infty \\ \hline 0 & \pm \infty & f(x) \times g(x) & 0 \times \infty \\ \hline 0 & 0 & \dfrac{f(x)}{g(x)} & \dfrac{0}{0} \\ \hline \pm\infty & \pm\infty & \dfrac{f(x)}{g(x)} & \dfrac{\infty}{\infty} \\ \hline \end{array}

Activite
Déterminer la limite de la fonction suivante :
- $\lim\limits_{x\to +\infty}~(3x^2-x)$

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$ \lim\limits_{x\to +\infty}~3x^2\ =\ +\infty \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x\to +\infty}~-x\ =\ -\infty\ \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x\to +\infty}~(3x^2-x)$ est une forme indéterminée du type "$\infty-\infty$".

Méthode pour éliminer la forme indéterminée
Indication
Mettre $x^2$ en facteur

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- On met $x^2$ en facteur : $f(x)=3x^2-x=x^2\left(3-\dfrac{1}{x}\right)$.
- $ \lim\limits_{x\to +\infty}~x^2\ =\ +\infty \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(3-\dfrac{1}{x}\right)\ =\ 1$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)\ =\ +\infty$.

De manière générale, le comportement d'une fonction polynomiale en $\pm \infty$ est dictée par le comportement de son terme de plus haut degré en $\pm \infty$.
Activite : forme indéterminée type "$\dfrac{\infty}{\infty}$ " :
- $\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3}\right)$

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$ \lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+2x+1)\ =\ +\infty \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x\to +\infty}~(2x^2-3)\ =\ +\infty\ \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3}\right)$ est une forme indéterminée du type " $\dfrac{\infty}{\infty}$ " .

Appliquer la méthode
Méthode pour éliminer la forme indéterminée
Indication
- Si $x\not= 0$,
Factoriser par la puissance de $x$ maximale
Simplifier le calcul

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$$f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3} =\dfrac{x^2\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\dfrac{3}{x^2}\right)}\ =\ \dfrac{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{2-\dfrac{3}{x^2}}$$. $$ \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\ =\ 1 \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(2-\frac{3}{x^2}\right)\ =\ 2\ \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)=\dfrac12$$.

De manière générale, le comportement d'une fraction rationnelle en $\pm \infty$ est dictée par le comportement du quotient des deux termes de plus haut degré.
Activite : Indétermination du type "$0\times \infty$" :
- $ \lim\limits_{x\to +\infty}~\left[\dfrac{1}{x}(x^2+1)\right]$

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$ \lim\limits_{x\to +\infty}~\dfrac{1}{x}\ \ =\ 0 \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+1)\ =\ +\infty\ \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x\to +\infty}~\left[\dfrac{1}{x}(x^2+1)\right]$ est une forme indéterminée du type "$0\times\infty$".

Méthode pour éliminer la forme Indéterminée
Indication
Développer l'expression.

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- On développe : $f(x)=\dfrac{1}{x}(x^2+1)=x+\dfrac{1}{x}$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty}~x\ =\ +\infty\quad\ et \quad\ \lim\limits_{x\to +\infty}~\dfrac{1}{x}\ =\ 0^+ \text{d'où} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$$.

Activite Indétermination du type "$\dfrac00$" :
- $\lim\limits_{x\to 1}~\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right)$

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- $ \lim\limits_{x\to 1}~(x^2-1)\ =\ 0\quad\ et \quad\ \lim\limits_{x\to 1}~(x-1)\ =\ 0\ \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x\to 1}~\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right)$ est une forme indéterminée du type $\dfrac00$.

Méthode pour éliminer la forme Indéterminée
Indication
Factoriser l'expression par la puissance la plus importante.

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On factorise : $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$. $$\lim\limits_{x\to 1}~(x\ +\ 1)\ =\ 2 \quad \text{donc :} \quad \ \lim\limits_{x\to 1}~f(x)\ =\ 2$$.

Croissance comparée des fonctions $e$; $\ln$ et puissances entières

Limites des fonctions exponentielles

Propriétés :

-$\lim\limits_{x\to +\infty}~e^{x}\ =$ ...............
-$\lim\limits_{x\to +\infty}~\frac{e^{x}}{x}\ =$ ...............
-$\lim\limits_{x\to -\infty}~ e^{x}\ =$ ...............
-$\lim\limits_{x\to -\infty}~ x.e^{x}\ =$ ...............

-$\lim\limits_{x\to +\infty}~e^{x}\ =\ +\infty$
-$\lim\limits_{x\to +\infty}~\frac{e^{x}}{x}\ =\ +\infty$
-$\lim\limits_{x\to -\infty}~ e^{x}\ = 0$
-$\lim\limits_{x\to -\infty}~x.e^{x}\ =\ 0$

Limites des fonctions logarithmes

Propriétés :

-$\lim\limits_{x\to +\infty}~\ln(x)\ = $ ...............
-$\lim\limits_{x\to +\infty}~ \frac{\ln(x)}{x}\ =$ ...............
-$\lim\limits_{x\to 0}~ \ln(x)\ =$ ...............

-$\lim\limits_{x\to +\infty}~\ln(x)\ =\ +\infty$
-$\lim\limits_{x\to +\infty}~\frac{\ln(x)}{x}\ =\ 0$
-$\lim\limits_{x\to 0}~ \ln(x)\ =\ -\infty$

Pour tout nombre réel $\alpha$ strictement positif :
L'idée à retenir :
Au voisinage de $+\infty$, les fonctions $x\to\ln x$, $x\to x^{\alpha}$ et $x\to e^x$ prennent des valeurs qui se classent dans cet ordre de la plus petite à la plus grande.