CCF Mathématiques – 2^ème année

On étudie la tension \( u(t) \) (en volts) aux bornes d’un dipôle dans un circuit électrique. Elle vérifie l’équation différentielle :

\[ (E) :\; u''(t) + 4u'(t) + 2u(t) = t + 1 \]

• \( u(t) \) représente la tension dans le circuit
• \( u'(t) \) modélise la variation de la tension
• Le terme \( t + 1 \) représente la tension fournie par le générateur

1. Déterminer les solutions générales de l’équation homogène \[ (E_0):\; u''(t) + 4u'(t) + 2u(t) = 0 \]
2. Soit \( g(t) = at + b \). Montrer que \( g \) est une solution de \( (E) \).
3. En déduire les solutions générales de l’équation différentielle \( (E) \).
4. Déterminer la solution \( y \) de \( (E) \) vérifiant : \[ y(0) = 2 \quad \text{et} \quad y'(0) = 2 \]
5. Donner l’expression de la solution \( y(t) \).
6. Décrire brièvement l’allure de la courbe de \( y \).
7. Préciser si le système présente des oscillations.
8. Interpréter ce comportement dans le contexte du circuit électrique.

Un constructeur automobile effectue des tests de fiabilité sur des capteurs de pression. Chaque capteur a une probabilité de fonctionnement correct de \( 0{,}95 \). On teste 20 capteurs indépendamment.

1. Justifier que la variable aléatoire \( X \) suit une loi de probabilité.
2. Préciser les paramètres de cette loi.
3. Calculer la probabilité que tous les capteurs fonctionnent.
4. Calculer la probabilité qu’au moins un capteur soit défectueux.
5. Le système est considéré comme fiable si au moins 6 capteurs fonctionnent correctement. Calculer la probabilité correspondante.
6. Calculer l’espérance de \( X \).
7. Calculer l’écart-type de \( X \).
8. Si 1000 systèmes sont testés, estimer le nombre de systèmes présentant un défaut.

On modélise le déplacement vertical \( y(t) \) (en cm) d’une suspension automobile par :

\[ (E):\; y''(t) - 2y'(t) + 4y(t) = 5t + 4 \]

• \( y(t) \) représente le déplacement
• \( y'(t) \) la vitesse
• \( y''(t) \) l’accélération
• Le second membre représente une excitation extérieure

1. Déterminer les solutions générales de : \[ (E_0):\; y''(t) - 2y'(t) + 4y(t) = 0 \]
2. Soit \( g(t) = at + b \). Montrer que \( g \) peut être une solution de \( (E) \) et déterminer \( a \) et \( b \).
3. En déduire les solutions générales de \( (E) \).
4. On suppose : \[ y(0) = 2 \quad \text{et} \quad y'(0) = 2 \] Déterminer la solution correspondante.
5. Décrire brièvement l’allure de la courbe de \( y \).
6. Indiquer si le système présente des oscillations.
7. Interpréter ce comportement dans le contexte d’une suspension automobile.

Chaque capteur fonctionne correctement avec une probabilité \( 0{,}90 \). On teste 15 capteurs indépendamment et on note \( X \) le nombre de capteurs fonctionnels.

1. Justifier que \( X \) suit une loi binomiale.
2. Préciser ses paramètres.
3. Calculer la probabilité que tous les capteurs fonctionnent.
4. Calculer la probabilité qu’au moins un capteur soit défectueux.
5. Le système est fiable si au moins 10 capteurs fonctionnent correctement. Calculer la probabilité correspondante.
6. Calculer l’espérance de \( X \).
7. Calculer l’écart-type de \( X \) (arrondir à \( 10^{-2} \)).
8. Calculer la probabilité qu’un système soit défectueux.
9. Sur 1000 systèmes testés, estimer le nombre de systèmes défectueux.