Corrigé – Exercice 4 : Fiabilité d’un système de capteurs

Un constructeur automobile teste la fiabilité de capteurs de pression. Chaque capteur fonctionne correctement avec une probabilité

\[ p = 0{,}90 \]

On teste 15 capteurs indépendamment. On note \( X \) le nombre de capteurs fonctionnant correctement.

1. Justifier que \( X \) suit une loi binomiale

Chaque test est une expérience de Bernoulli :

• succès : le capteur fonctionne
• échec : le capteur est défectueux

La probabilité de succès est constante et égale à \( 0{,}90 \), et les essais sont indépendants.

Donc la variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale :

\[ X \sim \mathcal{B}(15,\,0{,}90) \]

2. Paramètres de la loi

• Nombre d’essais : \( n = 15 \)
• Probabilité de succès : \( p = 0{,}90 \)

3. Probabilité que tous les capteurs fonctionnent

Cela correspond à l’événement \( X = 15 \).

\[ P(X = 15) = \binom{15}{15} (0{,}90)^{15}(0{,}10)^0 = (0{,}90)^{15}\ = \ 0,2059 \]

4. Probabilité qu’au moins un capteur soit défectueux

Cet événement est le contraire de « tous fonctionnent ».

\[ P(\text{au moins un défectueux}) = 1 - P(X = 15) = 1 - 0,2059 \ =\ 0,79941 \]

5. Probabilité que le système soit fiable

Le système est considéré comme fiable si :

\[ X \geq 10 \]

La probabilité correspondante est :

\[ P(X \geq 10) = \sum_{k=10}^{15} \binom{15}{k} (0{,}90)^k (0{,}10)^{15-k} \]

6. Espérance de \( X \)

Pour une loi binomiale :

\[ \mathbb{E}(X) = np \]

\[ \mathbb{E}(X) = 15 \times 0{,}90 = 13{,}5 \]

En moyenne, 13 à 14 capteurs fonctionnent correctement.

7. Écart-type de \( X \)

La variance est donnée par :

\[ \mathrm{Var}(X) = np(1-p) \]

\[ \mathrm{Var}(X) = 15 \times 0{,}90 \times 0{,}10 = 1{,}35 \]

L’écart-type vaut :

\[ \sigma = \sqrt{1{,}35} \approx 1{,}16 \]

(arrondi au \( 10^{-2} \)).

8. Probabilité qu’un système soit défectueux

Un système est défectueux si moins de 10 capteurs fonctionnent :

\[ X < 10 \]

La probabilité cherchée est donc :

\[ P(X < 10) = \sum_{k=0}^{9} \binom{15}{k} (0{,}90)^k (0{,}10)^{15-k} \ =\ 0,9978 \]

9. Estimation sur 1000 systèmes testés

Le nombre estimé de systèmes défectueux est :

\[ 1000 \times P(X < 10) = 0 \]

Ce nombre représente la proportion attendue de systèmes présentant un défaut sur 1000 tests.