On modélise le déplacement vertical \( y(t) \) (en cm) d’une suspension automobile par l’équation différentielle suivante :

\[ (E) : \; y''(t) - 2y'(t) + 4y(t) = 5t + 4 \]

• \( y(t) \) représente le déplacement
• \( y'(t) \) la vitesse
• \( y''(t) \) l’accélération

1. Solutions de l’équation homogène associée \( (E_0) \)

L’équation homogène associée est :

\[ (E_0) : \; y'' - 2y' + 4y = 0 \]

On cherche les solutions sous la forme \( y(t) = e^{rt} \). On obtient l’équation caractéristique :

\[ r^2 - 2r + 4 = 0 \]

Son discriminant est :

\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 4 = -12 \]

Les solutions sont donc :

\[ r_1 = 1 \ -\ i\sqrt{3}\ \quad \ r_2 = 1 \ +\ i\sqrt{3} \] Comme, nous avons posé : \(r_1\ =\ \alpha\ -\ i\beta\ \quad\ r_2\ =\ \alpha\ +\ i\beta\) Donc \(\alpha\ = 1\) et \(\beta\ =\ \sqrt{3}\)

Les solutions générales de \( (E_0) \) sont :

\[ y_h(t) = e^t\left( C_1 \cos(\sqrt{3}t) + C_2 \sin(\sqrt{3}t) \right) \]

2. Recherche d’une solution particulière

Le second membre est un polynôme de degré 1 : \[ 5t + 4 \] On cherche donc une solution particulière sous la forme :

\[ y_p(t) = at + b \]

3. Détermination de \( a \) et \( b \)

On calcule :

\[ y_p'(t) = a \qquad y_p''(t) = 0 \]

On remplace dans l’équation :

\[ 0 - 2a + 4(at + b) = 5t + 4 \]

On identifie les coefficients :

• Coefficient de \( t \) : \( 4a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{4} \)
• Terme constant : \( -2a + 4b = 4 \)

En remplaçant \( a \) :

\[ 4b = 4 + 2 \times \frac{5}{4} = \frac{13}{2} \Rightarrow b = \frac{13}{8} \]

Donc :

\[ y_p(t) = \frac{5}{4}t + \frac{13}{8} \]

4. Solution générale de l’équation \( (E) \)

La solution générale est :

\[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) \]

\[ y(t) = e^t\left( C_1 \cos(\sqrt{3}t) + C_2 \sin(\sqrt{3}t) \right) + \frac{5}{4}t + \frac{13}{8} \]

5. Solution avec conditions initiales

On suppose :

\[ y(0) = 2 \qquad y'(0) = 2 \]

On calcule :

\[ y(0) = C_1 + \frac{13}{8} = 2 \Rightarrow C_1 = \frac{3}{8} \]

En dérivant \( y(t) \) et en évaluant en \( t=0 \), on obtient :

\[ C_2 = \frac{19}{8\sqrt{3}} \]

La solution particulière vérifiant les conditions initiales est :

\[ y(t) = e^t\left( \frac{3}{8}\cos(\sqrt{3}t) + \frac{19}{8\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}t) \right) + \frac{5}{4}t + \frac{13}{8} \]

6. Allure de la courbe

Le mouvement est une combinaison :

• d’un mouvement oscillatoire (cosinus et sinus)
• d’une croissance exponentielle \( e^t \)
• d’une excitation linéaire \( \frac{5}{4}t \)

L’amplitude des oscillations augmente avec le temps.

7. Présence d’oscillations

Oui, le système présente des oscillations, car les racines de l’équation caractéristique sont complexes.

8. Interprétation physique

Dans le contexte d’une suspension automobile :

• le système oscille sous l’effet des irrégularités de la route
• les oscillations ne sont pas amorties (croissance exponentielle)
• le comportement est instable et non réaliste pour une vraie suspension

Une suspension réelle doit comporter un amortissement suffisant pour éviter une amplification des oscillations.