Exercice 1 : Circuit électrique (RLC simplifié)
On étudie la tension \(u(t)\) (en volts) aux bornes d’un dipôle dans un circuit électrique. Elle vérifie :
\[ (E) : u''(t) + 4u'(t) + 2u(t) = t + 1 \]
Interprétation des termes :
- \(u(t)\) : tension (en volts) dans le circuit.
- \(u'(t)\) : variation de la tension dans le circuit.
- Le second membre \(t + 1\) : force extérieure.
1. Solutions de l’équation homogène \((E_0)\)
\[ (E_0) : u''(t) + 4u'(t) + 2u(t) = 0 \]
On résout l’équation caractéristique :
\[ r^2 + 4r + 2 = 0 \]
Calcul du discriminant :
\[ \Delta = 16 - 8 = 8 \]
\[ r_1 = -2 - \sqrt{2} \quad r_2 = -2 + \sqrt{2} \]
Donc :
\[ u_h(t) = C_1 e^{(-2 + \sqrt{2})t} + C_2 e^{(-2 - \sqrt{2})t} \]
2. Montrer que \(g(t) = at + b\) est solution
\[ g'(t) = a, \quad g''(t) = 0 \]
\[ g''(t) + 4g'(t) + 2g(t) = 2at + (4a + 2b) \]
\[ 2a t + (4a + 2b) = t + 1 \]
\[ 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \]
\[ 4a + 2b = 1 \Rightarrow 2 + 2b = 1 \Rightarrow b = -\frac{1}{2} \]
\[ g(t) = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \]
3. Solutions générales
\[ u(t) = u_h(t) + g(t) \]
\[ u(t) = C_1 e^{(-2 + \sqrt{2})t} + C_2 e^{(-2 - \sqrt{2})t} + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \]
4. Conditions initiales
\[ y(0) = C_1 + C_2 - \frac{1}{2} = 2 \] \[ C_1 + C_2 = \frac{5}{2} \]
\[ y'(t) = C_1(-2 + \sqrt{2}) e^{(-2 + \sqrt{2})t} + C_2(-2 - \sqrt{2}) e^{(-2 - \sqrt{2})t} + \frac{1}{2} \]
\[ C_1(-2 + \sqrt{2}) + C_2(-2 - \sqrt{2}) = \frac{3}{2} \]
\[ C_1 = \frac{13 + 5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}, \quad C_2 = \frac{5\sqrt{2} - 13}{4\sqrt{2}} \]
5. Expression explicite
\[ y(t) = \frac{13 + 5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} e^{(-2 + \sqrt{2})t} + \frac{5\sqrt{2} - 13}{4\sqrt{2}} e^{(-2 - \sqrt{2})t} + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \]
6. Allure de la courbe
- Au départ : \(y(0) = 2\) la courbe part donc du point \((0, 2)\), la courbe est croissante jusqu'à \(t =\ 0,31)\).
- La courbe est décroissent jusqu'à \(t =\ 2)\) secondes. Puis la courbe devient croissante.
- À long terme, la solution se comporte comme la droite : \[ y(t) \sim \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \quad (t \to +\infty) \]
La courbe est donc une fonction qui part de \(2\), est légèrement courbée au début, puis se rapproche progressivement d’une droite de pente \(\frac{1}{2}\).
7. Oscillations
le système ne présente pas d’oscillations. La réponse est apériodique (type « amortissement sans oscillation »).8. Interprétation physique
- Le circuit réagit à la tension imposée par le générateur (\(t + 1\)).
- La partie exponentielle représente le régime transitoire : il disparaît au bout d’un certain temps.
- La partie linéaire \(\frac{1}{2}t - \frac{1}{2}\) représente le régime permanent : la tension suit alors une croissance linéaire avec le temps.
- Comme il n’y a pas d’oscillations, on peut dire que le circuit est « sur-amorti » ou « apériodique » : la tension se stabilise progressivement vers le comportement imposé par le générateur, sans dépasser ni osciller autour d’une valeur.