On effectue des tests de fiabilité sur des capteurs de pression. Chaque capteur a une probabilité de fonctionnement correct : \( p = 0{,}95 \). Lors du test, on observe 20 capteurs indépendants.

1. Nature de la variable aléatoire

On note \( X \) le nombre de capteurs qui fonctionnent correctement parmi les 20 testés.

Chaque capteur correspond à une expérience de Bernoulli de paramètre \( p = 0{,}95 \), et les expériences sont indépendantes.

La variable aléatoire \( X \) suit donc une loi binomiale.

\[ X \sim \mathcal{B}(20,\;0{,}95) \]

2. Paramètres de la loi

• Nombre d’essais : \( n = 20 \)
• Probabilité de succès : \( p = 0{,}95 \)

3. Probabilité que tous les capteurs fonctionnent

Cela correspond à l’événement \( X = 20 \).

\[ P(X = 20) = \binom{20}{20} 0{,}95^{20} 0{,}05^{0} = 0{,}95^{20} \] \[ P(X = 20) = 0{,}3585 \]

4. Probabilité qu’au moins un capteur soit défectueux

« Au moins un défectueux » est l’événement contraire de « tous fonctionnent ».

\[ P(\text{au moins un défectueux}) = 1 - P(X = 20) = 1 - 0{,}3585 \] \[ P(X \leq 19 )\ =\ 0,6415 \] Autre méthode : on prend la probabilité \(P(X \geq 1 ) \ =\ 0,6415\) avec n = 20 et p = 0.05.

5. Tolérance constructeur : au moins 6 capteurs fonctionnent

Le système est considéré comme fiable si :

\[ X \geq 6 \]

La probabilité cherchée est donc :

\[ P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5) \]

\[ P(X \geq 6) = 1 - \sum_{k=0}^{5} \binom{20}{k} 0{,}95^{k} 0{,}05^{20-k} \approx 1 \]

Cette probabilité est pratiquement égale à 1.

6. Espérance

Pour une loi binomiale, l’espérance est :

\[ \mathbb{E}(X) = np = 20 \times 0{,}95 = 19 \]

En moyenne, 19 capteurs fonctionnent correctement.

7. Écart-type

La variance d’une loi binomiale est :

\[ \mathrm{Var}(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}95 \times 0{,}05 = 0{,}95 \]

L’écart-type vaut donc :

\[ \sigma = \sqrt{0{,}95} \approx 0{,}97 \]

8. Interprétation : 1000 systèmes testés

Un système est en défaut s’il a moins de 6 capteurs fonctionnels :

\[ X \leq 5 \]

La probabilité d’un tel événement est :

\[ P(X \leq 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{20}{k} 0{,}95^{k} 0{,}05^{20-k} \approx 0 \]

Cette probabilité est extrêmement faible (proche de 0).

Sur 1000 systèmes testés, le nombre estimé de systèmes défectueux est :

\[ 1000 \times P(X \leq 5) \approx 0 \]

On peut donc s’attendre à aucun système défectueux.