Les développements limités

Exerice 1 :
Donner le développement limité de f en $0$ à l'ordre $n$ :

1. $f(x) \ =\ \ln(1\ +\ x^{2})$ pour n = 5
2. $f(x)\ =\ \sin(2x)\ +\ \cos(x^{2})$ pour n= 7
3. $f(x) \ =\ \frac{\ln(x\ +\ 1)}{(1\ +\ x)}$ pour n = 3
4. $f(x) \ =\ \sqrt{1\ +\ x}$ pour n = 4
5. $f(x) \ =\ \frac{\ln(x\ +\ 1)}{(1\ +\ x)^{2}}$ pour n = 3
6. $f(x) \ =\ \frac{1}{\sqrt{1\ -\ x}}$ pour n = 4

Exerice 2 :
Donner le développement limité d'ordre 3 des fonctions $f(x)$ au voisinage de $a$

1. $f(x)\ =\ \sqrt{x}$ pour a = 1
2. $f(x)\ =\ e^{\sqrt{x}}$ pour a = 1

Exerice 3 :Calcul de limite

1. Déterminer la limite de $\lim_{x\ \to\ 0} \frac{e^{x}}{x}$
2. Déterminer développement limité à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ pour la fonction $e^{x}$
3. Exprimer la fonction $f(x)\ =\ \frac{e^{x}}{x}$ avec le développement limité précédent.
4. Déterminer maintenant la limite de $\lim_{x\ \to\ 0} \frac{e^{x}}{x}$ avec l'expression précédente.

Exerice 4 :Calcul de limite

1. Déterminer la limite de $\lim_{x\ \to\ 0} \frac{e^{x}\ -\ 1}{x}$
2. Déterminer développement limité à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ pour la fonction $e^{x}$
3. Exprimer la fonction $f(x)\ =\ \frac{e^{x}}{x}$ avec le développement limité précédent.
4. Déterminer maintenant la limite de $\lim_{x\ \to\ 0} \frac{e^{x}}{x}$ avec l'expression précédente.

Exerice 5 :Calcul de limite

1. Déterminer la limite de $\lim _{x\ \to\ 0}\ \frac{\ln(x\ +\ 1)}{x}$
2. Proposer une méthode permettant de déterminer la limite de $\lim _{x\ \to\ 0}\ \frac{\ln(x\ +\ 1)}{x}$
3. Exprimer la fonction $f(x)\ =\ \frac{\ln(x\ +\ 1)}{x}$ avec le développement limité d'ordre $3$ au voisinage de $0$.
4. Déterminer maintenant la limite de $\lim _{x\ \to\ 0}\ \frac{\ln(x\ +\ 1)}{x}$ .