Les développements limités ../../logo

Introduction

Au lycée, vous avez utilisé la formule de la tangente pour trouver pouvoir assimiler la fonction ($f(x)$) à une fonction affine: $$ y\ =\ f(a)\ +\ (x-a).f'(a) $$ Cette approximation fonctionne qu'au voisinage de $a$.
En 1715, un mathématicien anglais Brook Taylor généralise l'approximation affine par une fonction polynomiale notée $T_{n}(x)$.
$$ T_{n}(x)\ =\ f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Un développement limité est composé :
Activite Geogebra Pour visualier un développement limité. L'influence de $n$ sur la précision du developpement.
$\varepsilon(x)$
Le reste représente l'écart entre la fonction réelle et la fonction polynomiale
En physique, il est courant de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que le reste ($\varepsilon(x)$) soit inférieure à l'erreur autorisée.
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

Développement limite

Théoreme : Formule de Taylor-Young
Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ et soit $a\in I$. Alors pour tout $x \in I$ on a :
$$\begin{array} f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon(x) \end{array} $$
$\varepsilon$ est une fonction définie sur $I$ telle que $\varepsilon(x) \xrightarrow[x\to a]{} 0$.
Notation

Développement limité d'ordre 1

L'ordre correspond à la lettre $n$, donc si on parle d'un développement limité d'ordre 1 cela signifie que $n$ = 1.
Vous avez déjà entendu parler d'un développement limité d'ordre 1.
Où avez-vous déjà utilisé un développement limité à l'ordre 1.

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Il s'agit de l'expression de la tangente.
Si nous partons du Théoreme de Taylor-Young à l'ordre $1$ on obtient : $$ y\ =\ f(a)\ +\ (x-a).f'(a) $$

Activité :
Développement limité d'ordre $1$:
Déterminer les DL d'ordre 1 au voisinage de $a$ pour les fonctions suivantes:
  1. f(x) = $x^{2}$ pour a = 2
  2. g(x) = $x^{3}$ pour a = 4
  3. e(x) = $5x^{5}\ +\ 3x^{3}\ +\ 2$ pour a = 5

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Pour la fonction f(x) = $x^{2}$ $$ f(x)\ =\ f(a) \ +\ f'(a)(x-a) \ +\ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\ +\ \cdots +\ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\ \varepsilon(x)$$ Pour le développement limité d'ordre 1 : $n\ =\ 1$
L'expression de Taylor-Young devient : $$f(x)\ =\ f(a) \ +\ f'(a)(x-a) +\ (x-a)\ \varepsilon(x)$$ - $f(2)\ =\ 4$
- $f'(x)\ =\ 2x$ donc $f'(2)\ =\ 4$
Le DL d'ordre 1 est noté : $$f(x)\ =\ 4\ + 4\left(x\ -\ 2\right)\ +\ (x\ -\ 2)\ \varepsilon(x)$$

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Pour la fonction g(x) = $x^{3}$ $$g(x)\ =\ g(a) \ +\ g'(a)(x-a) \ +\ \frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2\ +\ \cdots +\ \frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\ \varepsilon(x)$$ Pour le développement limité d'ordre 1 : $n\ =\ 1$ L'expression de Taylor-Young devient : $$g(x)\ =\ g(a) \ +\ g'(a)(x-a) +\ (x-a)\ \varepsilon(x)$$ - $g(4)\ =\ 4^{3}\ =\ 64$
- $f'(x)\ =\ 3x^{2}$ donc $f'(4)\ =\ 3\times 16\ =\ 48$
Le DL d'ordre 1 est noté : $$g(x)\ =\ 64\ + 48\left(x\ -\ 4\right)\ +\ (x\ -\ 4)\ \varepsilon(x)$$

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Pour la fonction e(x) = $5x^{5}\ +\ 3x^{3}\ +\ 2$ pour a = 5
$$e(x)\ =\ e(5) \ +\ e'(5)(x-5) \ +\ \frac{e''(5)}{2!}(x-5)^2\ + \frac{e'^{n}(5)}{n!}(x-5)^n +(x-5)^n\ \varepsilon(x)$$ Pour le développement limité d'ordre 1 : $n\ =\ 1$ L'expression de Taylor-Young devient : $$e(x)\ =\ e(5) \ +\ e'(5)(x-5) +(x-5)\ \varepsilon(x)$$ - $e(5)\ =\ 5.(5)^{5}\ +\ 3(5)^{3}\ +\ 2\ =\ 16002$
- $e'(x)\ =\ 25x^{4}\ +\ 9x^{2}$ donc $e'(5)\ =\ 25.(5)^{4}\ +\ 9.(5)^{2}\ =\ 15850$
Le DL d'ordre 1 est noté : $$g(x)\ =\ 16002\ + 15850\left(x\ -\ 5\right)\ +\ (x\ -\ 5)\ \varepsilon(x)$$

Développement limité d'ordre 3

Activité :
Donner le developpement limité d'ordre 3 de la fonction $f(x)\ =\ e^{x}$ pour a = 0

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$$ e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+x^2\varepsilon(x) \textrm{~~où~~} \lim\limits_{x\to0}~\varepsilon(x)=0.$$

Activité : Developpement limité d'ordre 3
  1. Donner le développement limité d'ordre 3 de la fonction $f(x)\ =\ \ln(x)$ pour a = 0
  2. ................................................................................

    On a $f(x)\ =\ \ln(x)$ alors
    $$f'(x)\ =\ \frac{1}{x} \mathbb{R}ightarrow f''(x)\ =\ \frac{-1}{x^{2}} \mathbb{R}ightarrow f'''(x)\ =\ \frac{2x}{x^{4}}\ =\ \frac{2}{x^{3}} Théoreme de Taylor-Young à l'ordre $3$ donne : $$f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\ +\ \frac{f'^{3}(a)}{3!}(x-a)^3 +(x-a)^3\varepsilon(x)$$ Au voisinage de 0: l'expression donne : $$f(x)= f(0)\ +\ f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2\ +\ \frac{f'^{3}(0)}{3!}(x-0)^3 +(x-0)^3\varepsilon(x)$$ $f(0)\ =\ Impossible$ puisque $\lim_{x\ \to 0} \ln(x)\ =\ -\infty$ idem pour $f'(0); f''(0)$ et $f'^{3}$

  3. Expliquer votre constat.
  4. ................................................................................

    Le développement limité de $\ln(x)$ n'existe pas au voisinage de $0$.

  5. Donner le developpement limité d'ordre 3 de la fonction $f(x)\ =\ \ln(1\ +\ x)$ pour a = 0
  6. ................................................................................

    On a $f(x)\ =\ \ln(1\ +\ x)$ alors
    $$f'(x)\ =\ \frac{1}{1\ +\ x} \mathbb{R}ightarrow f''(x)\ =\ \frac{-1}{(1\ +\ x)^{2}} \mathbb{R}ightarrow f'''(x)\ =\ \frac{2(1\ +\ x)}{(1\ +\ x)^{4}}\ =\ \frac{2}{(1\ +\ x)^{3}} Théoreme de Taylor-Young à l'ordre $3$ donne : $$f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\ +\ \frac{f'^{3}(a)}{3!}(x-a)^3 +(x-a)^3\varepsilon(x)$$ Au voisinage de 0: l'expression donne : $$f(x)= f(0)\ +\ f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2\ +\ \frac{f'^{3}(0)}{3!}(x-0)^3 +(x-0)^3\varepsilon(x)$$ $f'(0)\ =\ \frac{1}{1\ +\ 0}\ =\ 1$ ensuite $f''(0)\ =\ \frac{-1}{(1\ +\ 0)^{2}}\ =\ -1$ et $f'^{3}\ = \ \frac{2}{(1\ +\ 0)^{3}}\ =\ 2 $
    On obtient : $$f(x)= 0\ +\ x\ +\ \frac{-1}{2!}x^2\ +\ \frac{2}{2\times\ 3}(x)^3\ +\ x^3\varepsilon(x)$$ $$f(x)= x\ -\ \frac{x^2}{2}\ +\ \frac{x^3}{3}\ +\ x^3\varepsilon(x)$$

Remarque
Un développement limité est l'approximation \textbf{locale} d'une fonction par un polynôme. L'approximation est d'autant plus précise que l'ordre du DL est élevé.

Dévéloppements limités

Généralités

Théoreme
Si f admet un développement limité à l'ordre n en $a$ si et seulement si la fonction définie par $g(h)\ =\ f(x\ + a)$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$
Remarque
Pour simplifier le calcul, il suffit de faire le développement limité en $0$ d'une fonction $g(X)$.
Un changement de variable va être effectué pour obtenir le développement limité en $a$. On pose: $X\ =\ x\ -\ a$
Cette remarque montre l'importante d'effectuer le développement limité en $0$.
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ contenant $0$.
On dit que $f$ admet un \underline{développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0$} s'il existe un polynôme $P_n$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que pour tout $x \in I$ : $$f(x) =P_n(x)+x^n\varepsilon(x) \textrm{ où } \lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0.$$ ou sous forme développée $$f(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x).$$ On dit que $P_n(x)$ est la \underline{partie régulière} du développement limité et $x^n\varepsilon(x)$ est le \underline{reste}.

Dévéloppements limités usuels

Au voisinage de zéro, on a : Dans le reste du chapitre, on considère les fonctions $f$ et $g$ admettant à l'ordre $n$ au point $0$ des développements limités de parties régulières $P(x)$ et $Q(x)$.

Opérations algébriques

Somme de fonctions
Propriété
Exemple
Soient deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$ continues $\mathbb{R}$ et définies par la relation Taylor Young $$f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{1}(x) $$ $$g(x)= g(a)\ +\ g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{2}(x) $$ Alors $$f(x)\ +\ g(x)\ =\ \left(f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{1}(x) \right)\ +\ \left(g(a)\ +\ g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{2}(x)\right)$$ $$f(x)\ +\ g(x)\ =\ (f(a)\ + \ g(a))\ +\ (f'(a)\ +\ g'(a))(x-a)\ +\ (\frac{f''(a)\ +\ g'(a)}{2}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)\ +\ g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n(\varepsilon_{1}(x) \ +\ \varepsilon_{2}(x))$$
Application :
Déterminer le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction définie par: $$f(t)=e^t+\dfrac{1}{1+t}$$ D'après le formulaire, on a les dl suivants: $$e^t=1+t+\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$ $$\dfrac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^3\epsilon_2(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_2(t)=0$$ En ajoutant terme à terme et en posant $\epsilon(t)=\epsilon_1(t)+\epsilon_2(t)$, on obtient: $$f(t)=e^t+\dfrac{1}{1+t}=2+\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{6}t^3+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
Produit de fonctions
Exemple
Soient deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$ continues $\mathbb{R}$ et définies par la relation Taylor Young $$f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{1}(x) $$ $$g(x)= g(a)\ +\ g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{2}(x) $$ Alors $$f(x)\ .\ g(x)\ =\ \left(f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{1}(x) \right)\ .\ \left(g(a)\ +\ g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{2}(x)\right)$$ Ensuite on effectue une distributivité. Il faudra également éliminer des termes, tous les termes où $puissance$ sera supérieure à l'ordre $n$ indiquer.
Application :
Déterminer le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction définie par: $$f(t)=\sin t\cos t$$ On a: $$\sin t=t-\dfrac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$ $$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+t^3\epsilon_2(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_2(t)=0$$ donc $$\sin t\cos t=\left(t-\frac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\right)\left(1-\frac{t^2}{2}+t^3\epsilon_2(t)\right)$$ $$\sin t \cos t=t-\frac{2}{3}t^3+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec } \epsilon(t)=t\epsilon_2(t)+\frac{t^2}{12}-\frac{t^3}{6}\epsilon_2(t)+\epsilon_1(t)-\frac{t^2}{2}\epsilon_1(t)+t^3\epsilon_1(t)\epsilon_2(t)$$ et on a bien $$\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
Activité :
Donner le développement limité à l'ordre $3$ de $f(x) \ =\ \dfrac{e^x}{1+x}$ :

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A l'ordre $3$, on a $e^x\ =\ 1\ +\ x\ +\ \dfrac{x^2}{2}\ +\ \dfrac{x^3}{6}\ + x^3\varepsilon_1(x)$ avec $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon_1(x)=0$ $$\dfrac{1}{1+x} =1-x+x^2-x^3+x^3\varepsilon_2(x) \textrm{~~avec~~} \lim\limits_{x\to0}\varepsilon_2(x)=0$$ donc $\dfrac{e^x}{1+x}=e^x\times\dfrac{1}{1+x} =\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+ x^3\varepsilon_1(x)\right)\left(1-x+x^2-x^3+ x^3\varepsilon_2(x)\right)$
$=1-x+x^2-x^3+x-x^2+x^3+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)$
$=1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+x^3\varepsilon(x)~~$ avec $~~\lim\limits_{x\mapsto0}\varepsilon(x)=0$.

Composition

Propriété
Si $f(x)=P(x)+x^n\varepsilon(x)$ alors :
Application :
Déterminer le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction définie par: $$f(t)=\sin 2t$$ On a: $$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+x^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{x\to 0}\epsilon_1(x)=0$$ en posant $x=2t$ on en déduit: $$\sin 2t=2t-\dfrac{(2t)^3}{6}+(2t)^3\epsilon_1(2t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(2t)=0$$ $$\sin 2t=2t-\dfrac{8t^3}{6}+8t^3\epsilon_1(2t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(2t)=0$$ en posant $\epsilon(t)=8\epsilon_1(2t)$ on a le dl cherché: $$\sin 2t=2t-\dfrac{8t^3}{6}+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
Activité :
Donner le développement limité à l'ordre $7$ de $\sin(2x^{2})$ :

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On effectue un changement de variable on pose $u\ =\ 2x^{2}$ $\sin (u)\ =\ u\ -\dfrac{u^3}{3!}+\dfrac{u^5}{5!}-\dfrac{u^7}{7!}+u^7\varepsilon_1(u)~~$ donc :
$$\sin(2x^{2}) =2x^{2}-\dfrac{(2x^{2})^3}{3!}+\dfrac{(2x^{2})^5}{5!}-\dfrac{(2x^{2})^7}{7!}+(2x^{2})^7\varepsilon_2(2x^{2})$$ $$=2x^{2}-\dfrac{4}{3}x^6+x^7\varepsilon(x)$$.

Activité :
Donner le développement limité à l'ordre $6$ de $\dfrac{1}{1+x^2}$ :

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$\dfrac{1}{1+x} =1-x+x^2-x^3+ x^3\varepsilon_1(x)$ donc :
$\dfrac{1}{1+x^2} =1-x^2+x^4-x^6+ x^6\varepsilon_2(x)$.