Au lycée, vous avez utilisé la formule de la tangente pour trouver pouvoir assimiler la fonction ($f(x)$) à une fonction affine:
$$ y\ =\ f(a)\ +\ (x-a).f'(a) $$
Cette approximation fonctionne qu'au voisinage de $a$.
En 1715, un mathématicien anglais Brook Taylor généralise l'approximation affine par une fonction polynomiale notée $T_{n}(x)$.
$$
T_{n}(x)\ =\ f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
Un développement limité est composé :
d'une fonction polynomiale dont le degré est appelé l'ordre du développement ($n$)
d'un reste ($\varepsilon(x)$) qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.
Activite Geogebra Pour visualier un développement limité. L'influence de $n$ sur la précision du developpement.
$\varepsilon(x)$
Le reste représente l'écart entre la fonction réelle et la fonction polynomiale
En physique, il est courant de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que le reste ($\varepsilon(x)$) soit inférieure à l'erreur autorisée.
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.
Développement limite
Théoreme : Formule de Taylor-Young
Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ et soit $a\in I$.
Alors pour tout $x \in I$ on a :
$$\begin{array}
f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon(x)
\end{array}
$$
$\varepsilon$ est une fonction définie sur $I$ telle que $\varepsilon(x) \xrightarrow[x\to a]{} 0$.
Notation
$n!$ se dit n factorielle, cela représente le produit des entiers strictements positifs inférieurs ou égaux à $n$.
L'ordre correspond à la lettre $n$, donc si on parle d'un développement limité d'ordre 1 cela signifie que $n$ = 1.
Vous avez déjà entendu parler d'un développement limité d'ordre 1.
Où avez-vous déjà utilisé un développement limité à l'ordre 1.
On a $f(x)\ =\ \ln(x)$ alors
$$f'(x)\ =\ \frac{1}{x} \mathbb{R}ightarrow f''(x)\ =\ \frac{-1}{x^{2}} \mathbb{R}ightarrow f'''(x)\ =\ \frac{2x}{x^{4}}\ =\ \frac{2}{x^{3}}
Théoreme de Taylor-Young à l'ordre $3$ donne :
$$f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\ +\ \frac{f'^{3}(a)}{3!}(x-a)^3 +(x-a)^3\varepsilon(x)$$
Au voisinage de 0: l'expression donne :
$$f(x)= f(0)\ +\ f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2\ +\ \frac{f'^{3}(0)}{3!}(x-0)^3 +(x-0)^3\varepsilon(x)$$
$f(0)\ =\ Impossible$ puisque $\lim_{x\ \to 0} \ln(x)\ =\ -\infty$ idem pour $f'(0); f''(0)$ et $f'^{3}$
On a $f(x)\ =\ \ln(1\ +\ x)$ alors
$$f'(x)\ =\ \frac{1}{1\ +\ x} \mathbb{R}ightarrow f''(x)\ =\ \frac{-1}{(1\ +\ x)^{2}} \mathbb{R}ightarrow f'''(x)\ =\ \frac{2(1\ +\ x)}{(1\ +\ x)^{4}}\ =\ \frac{2}{(1\ +\ x)^{3}}
Théoreme de Taylor-Young à l'ordre $3$ donne :
$$f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\ +\ \frac{f'^{3}(a)}{3!}(x-a)^3 +(x-a)^3\varepsilon(x)$$
Au voisinage de 0: l'expression donne :
$$f(x)= f(0)\ +\ f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2\ +\ \frac{f'^{3}(0)}{3!}(x-0)^3 +(x-0)^3\varepsilon(x)$$
$f'(0)\ =\ \frac{1}{1\ +\ 0}\ =\ 1$ ensuite $f''(0)\ =\ \frac{-1}{(1\ +\ 0)^{2}}\ =\ -1$ et $f'^{3}\ = \ \frac{2}{(1\ +\ 0)^{3}}\ =\ 2 $
On obtient :
$$f(x)= 0\ +\ x\ +\ \frac{-1}{2!}x^2\ +\ \frac{2}{2\times\ 3}(x)^3\ +\ x^3\varepsilon(x)$$
$$f(x)= x\ -\ \frac{x^2}{2}\ +\ \frac{x^3}{3}\ +\ x^3\varepsilon(x)$$
Remarque
Un développement limité est l'approximation \textbf{locale} d'une fonction
par un polynôme. L'approximation est d'autant plus précise que l'ordre du
DL est élevé.
Dévéloppements limités
Généralités
Théoreme
Si f admet un développement limité à l'ordre n en $a$ si et seulement si la fonction définie par $g(h)\ =\ f(x\ + a)$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$
Remarque
Pour simplifier le calcul, il suffit de faire le développement limité en $0$ d'une fonction $g(X)$.
Un changement de variable va être effectué pour obtenir le développement limité en $a$. On pose: $X\ =\ x\ -\ a$
Cette remarque montre l'importante d'effectuer le développement limité en $0$.
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ contenant $0$.
On dit que $f$ admet un \underline{développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0$} s'il existe un polynôme $P_n$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que pour tout $x \in I$ :
$$f(x) =P_n(x)+x^n\varepsilon(x) \textrm{ où } \lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0.$$
ou sous forme développée
$$f(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x).$$
On dit que $P_n(x)$ est la \underline{partie régulière} du développement limité et $x^n\varepsilon(x)$ est le \underline{reste}.
Dans le reste du chapitre, on considère les fonctions $f$ et $g$ admettant à l'ordre $n$ au point $0$ des développements limités de parties régulières $P(x)$ et $Q(x)$.
Opérations algébriques
Somme de fonctions
Propriété
$f+g$ admet un développement limité à l'ordre $n$ dont la partie régulière est $P(x)+Q(x)$.
$f\times g$ admet un développement limité à l'ordre $n$ dont la partie régulière $P(x)\times Q(x)$ en supprimant tous les termes de degré strictement supérieurs à $n$.
Exemple
Soient deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$ continues $\mathbb{R}$ et définies par la relation Taylor Young
$$f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{1}(x) $$
$$g(x)= g(a)\ +\ g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{2}(x) $$
Alors
$$f(x)\ +\ g(x)\ =\ \left(f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{1}(x) \right)\ +\ \left(g(a)\ +\ g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{2}(x)\right)$$
$$f(x)\ +\ g(x)\ =\ (f(a)\ + \ g(a))\ +\ (f'(a)\ +\ g'(a))(x-a)\ +\ (\frac{f''(a)\ +\ g'(a)}{2}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)\ +\ g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n(\varepsilon_{1}(x) \ +\ \varepsilon_{2}(x))$$
Application :
Déterminer le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction définie par:
$$f(t)=e^t+\dfrac{1}{1+t}$$
D'après le formulaire, on a les dl suivants:
$$e^t=1+t+\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$
$$\dfrac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^3\epsilon_2(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_2(t)=0$$
En ajoutant terme à terme et en posant $\epsilon(t)=\epsilon_1(t)+\epsilon_2(t)$, on obtient:
$$f(t)=e^t+\dfrac{1}{1+t}=2+\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{6}t^3+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
Produit de fonctions
Exemple
Soient deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$ continues $\mathbb{R}$ et définies par la relation Taylor Young
$$f(x)= f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{1}(x) $$
$$g(x)= g(a)\ +\ g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{2}(x) $$
Alors
$$f(x)\ .\ g(x)\ =\ \left(f(a)\ +\ f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{1}(x) \right)\ .\ \left(g(a)\ +\ g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +(x-a)^n\varepsilon_{2}(x)\right)$$
Ensuite on effectue une distributivité. Il faudra également éliminer des termes, tous les termes où $puissance$ sera supérieure à l'ordre $n$ indiquer.
Application :
Déterminer le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction définie par:
$$f(t)=\sin t\cos t$$
On a:
$$\sin t=t-\dfrac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$
$$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+t^3\epsilon_2(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_2(t)=0$$
donc $$\sin t\cos t=\left(t-\frac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\right)\left(1-\frac{t^2}{2}+t^3\epsilon_2(t)\right)$$
$$\sin t \cos t=t-\frac{2}{3}t^3+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec } \epsilon(t)=t\epsilon_2(t)+\frac{t^2}{12}-\frac{t^3}{6}\epsilon_2(t)+\epsilon_1(t)-\frac{t^2}{2}\epsilon_1(t)+t^3\epsilon_1(t)\epsilon_2(t)$$
et on a bien $$\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
Activité :
Donner le développement limité à l'ordre $3$ de $f(x) \ =\ \dfrac{e^x}{1+x}$ :
A l'ordre $3$, on a $e^x\ =\ 1\ +\ x\ +\ \dfrac{x^2}{2}\ +\ \dfrac{x^3}{6}\ + x^3\varepsilon_1(x)$ avec $\lim\limits_{x\to0}\varepsilon_1(x)=0$
$$\dfrac{1}{1+x} =1-x+x^2-x^3+x^3\varepsilon_2(x) \textrm{~~avec~~} \lim\limits_{x\to0}\varepsilon_2(x)=0$$
donc $\dfrac{e^x}{1+x}=e^x\times\dfrac{1}{1+x} =\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+ x^3\varepsilon_1(x)\right)\left(1-x+x^2-x^3+ x^3\varepsilon_2(x)\right)$
$=1-x+x^2-x^3+x-x^2+x^3+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)$
$=1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+x^3\varepsilon(x)~~$ avec $~~\lim\limits_{x\mapsto0}\varepsilon(x)=0$.
Composition
Propriété
Si $f(x)=P(x)+x^n\varepsilon(x)$ alors :
$f(ax)=P(ax)+x^n\varepsilon_1(x)$ pour tout $ a\in\mathbb{R}^*$.
$f(x^p)=P(x^p)+x^{n\times p}\varepsilon_2(x)$ pour tout $p\in\mathbb{N}^*$.
Application :
Déterminer le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction définie par:
$$f(t)=\sin 2t$$
On a:
$$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+x^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{x\to 0}\epsilon_1(x)=0$$
en posant $x=2t$ on en déduit:
$$\sin 2t=2t-\dfrac{(2t)^3}{6}+(2t)^3\epsilon_1(2t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(2t)=0$$
$$\sin 2t=2t-\dfrac{8t^3}{6}+8t^3\epsilon_1(2t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(2t)=0$$
en posant $\epsilon(t)=8\epsilon_1(2t)$ on a le dl cherché:
$$\sin 2t=2t-\dfrac{8t^3}{6}+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
Activité :
Donner le développement limité à l'ordre $7$ de $\sin(2x^{2})$ :
On effectue un changement de variable on pose $u\ =\ 2x^{2}$
$\sin (u)\ =\ u\ -\dfrac{u^3}{3!}+\dfrac{u^5}{5!}-\dfrac{u^7}{7!}+u^7\varepsilon_1(u)~~$ donc :
$$\sin(2x^{2}) =2x^{2}-\dfrac{(2x^{2})^3}{3!}+\dfrac{(2x^{2})^5}{5!}-\dfrac{(2x^{2})^7}{7!}+(2x^{2})^7\varepsilon_2(2x^{2})$$
$$=2x^{2}-\dfrac{4}{3}x^6+x^7\varepsilon(x)$$.
Activité :
Donner le développement limité à l'ordre $6$ de $\dfrac{1}{1+x^2}$ :