Exercices : Équations Différentielles d'Ordre 1

Exercice 1:

Simplifier les expressions suivantes en indiquant les formules utilisées :

• \( A = \frac{e^{5x} \times e^{4x}}{e^{-2x}} \)
• \( B = e^{5x} \times \frac{e^{-5}}{e^{3x}} \)
• \( C = \frac{(e^{-2x+3})^2}{e^{4x} \times e^{-6}} \)
• \( D = e^{3x-4} \times \frac{e^{-x-3}}{e^{2x+3}} \)

Exercice 2:

Résoudre les équations suivantes :

• \( (I_1) : \ln(4x+3) + 5 = 6 \)
• \( (I_2) : e^{x-5} = -5 \)
• \( (I_3) : e^{4x+5} = e^{2x-5} \)
• \( (I_4) : \ln(2x-5) = \ln(1-2x) \)
• \( (I_5) : \ln(2x+1) = \ln 3 + \ln(1-x) \)
• \( (I_6) : \ln(2x-1) + \ln(x-3) = \ln 3 \)

Exercice 3:

Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :

• \( i : x \mapsto (3 - 2x)e^{5x-1} \)
• \( j : x \mapsto x^2 e^{-x} \)
• \( f : x \mapsto \frac{-x+5}{3x-2} \)
• \( h : x \mapsto (x+5)e^{x+1} \)
• \( g : x \mapsto \frac{x^2+2x+2}{x-1} \)

Exercice 4:

Résoudre les équations différentielles du premier ordre suivantes :

• \( y' + 3y = 0 \)
• \( 4y' + 5y = 0 \)
• \( 2y' + 3y = 0 \)
• \( 2y' - 6y = 0 \)

Exercice 5:

Résoudre les équations différentielles \((E)\) suivantes où l'inconnue \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(y'\) sa fonction dérivée :

1. \( y' + y = 0 \)
2. \( y' = -3y \)
3. \( y' - 2y = 3 \)
4. \( 5y' = 4 + 3y \)
5. \( y' - 3y = 1 \)
6. \( y' + 2y = 2 \)
7. \( 2y' - y = 1 \)

Exercice 6:

Résoudre chacune des équations différentielles en donnant une solution qui respecte la condition initiale :

1. \( y' = 2y + 3 \) avec \( f(0) = 1 \)
2. \( y' = 2y + 3 \) avec \( f(0) = 1 \)
3. \( y' = 1 - y \) avec \( f(-1) = 1 \)
4. \( 2y' + y = 0 \) avec \( y(1) = 4 \)

Exercice 7:

Vérifier que la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 1 - x e^{-2x}\) soit solution de l'une des équations différentielles suivantes :

• \( y' - 2y = 1 - e^{-2x} \)
• \( 2y' - 2y = 1 - e^{-2x} \)
• \( y' + y = 1 - e^{-2x} \)

Exercice 8:

Vérifier que la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2 - 2x e^{-3x}\) soit solution de l'une des équations différentielles suivantes :

• \( y' - 2y = 6 - 2e^{-3x} \)
• \( y' + 3y = 6 - 2e^{-3x} \)
• \( y' + y = 6 - 2e^{-3x} \)

Exercice 9:

Vérifier que la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle :

5. \( y' + y = e^x + 1 \) avec \( f(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 1 \)
6. \( y' + y = x \) avec \( f(x) = x - 1 + k e^{-x} \) où \( k \in \mathbb{R} \)
7. \( x y' - y = \frac{x^2}{1+x} \) sur \( I = ]-1; +\infty[ \) avec \( f(x) = x \ln(1+x) \)

Exercice 10:

Résoudre les équations suivantes :

• \( y' - 2y = 0 \) avec \( f(0) = 2 \)
• \( y' + y = 0 \) avec \( y(0) = 1 \)
• \( y' + \frac{5}{2}y = 3 \) avec \( y(0) = 3 \)
• \( y' + y = 0 \) avec \( f(-1) = 3 \)
• \( y' - 3y = 0 \) avec \( y(1) = 3 \)
• \( 5y' - 4y = -4 \) avec \( y(-2) = 0 \)