Correction : Équations Différentielles d'Ordre 1

Exercice 1:

1. Expression A

\( A = \frac{e^{5x} \times e^{4x}}{e^{-2x}} \)

  • Formule du numérateur : \(e^a \times e^b = e^{a+b}\) donne \(e^{5x} \times e^{4x} = e^{5x + 4x} = e^{9x}\).
  • Formule du quotient : \(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\) donne \(A = \frac{e^{9x}}{e^{-2x}} = e^{9x - (-2x)} = e^{9x + 2x}\).
  • Résultat : \( A = e^{11x} \)

2. Expression B

\( B = e^{5x} \times \frac{e^{-5}}{e^{3x}} \)

  • Formule du quotient : \(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\) appliqué à la fraction donne \(\frac{e^{-5}}{e^{3x}} = e^{-5 - 3x}\).
  • Formule du produit : \(e^a \times e^b = e^{a+b}\) donne \(B = e^{5x} \times e^{-5 - 3x} = e^{5x - 5 - 3x}\).
  • Résultat : \( B = e^{2x - 5} \)

3. Expression C

\( C = \frac{(e^{-2x+3})^2}{e^{4x} \times e^{-6}} \)

  • Formule de la puissance : \((e^a)^b = e^{a \times b}\) donne \((e^{-2x+3})^2 = e^{(-2x+3) \times 2} = e^{-4x + 6}\).
  • Formule du produit (dénominateur) : \(e^a \times e^b = e^{a+b}\) donne \(e^{4x} \times e^{-6} = e^{4x - 6}\).
  • Formule du quotient final : \(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\) donne \(C = \frac{e^{-4x + 6}}{e^{4x - 6}} = e^{(-4x + 6) - (4x - 6)} = e^{-4x + 6 - 4x + 6}\).
  • Résultat : \( C = e^{-8x + 12} \)

4. Expression D

\( D = e^{3x-4} \times \frac{e^{-x-3}}{e^{2x+3}} \)

  • Formule du quotient : \(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\) appliqué à la fraction donne \(\frac{e^{-x-3}}{e^{2x+3}} = e^{(-x-3) - (2x+3)} = e^{-x - 3 - 2x - 3} = e^{-3x - 6}\).
  • Formule du produit : \(e^a \times e^b = e^{a+b}\) donne \(D = e^{3x-4} \times e^{-3x-6} = e^{3x - 4 - 3x - 6}\).
  • Résultat : \( D = e^{-10} \)

Exercice 2:

1. Équation \((I_1)\)

\( (I_1) : \ln(4x+3) + 5 = 6 \)

  • Domaine de définition : L'expression sous le logarithme doit être strictement positive : \(4x + 3 > 0 \iff 4x > -3 \iff x > -\frac{3}{4}\). L'ensemble de définition est \( \mathcal{D}_1 = \left]-\frac{3}{4}, +\infty\right[ \).
  • Isolation du logarithme : \[ \ln(4x+3) = 6 - 5 \] \[ \ln(4x+3) = 1 \]
  • Application de l'exponentielle : \[ e^{\ln(4x+3)} = e^1 \] \[ 4x + 3 = e \]
  • Résolution pour \(x\) : \[ 4x = e - 3 \] \[ x = \frac{e - 3}{4} \]
  • Vérification avec le domaine : Comme \(e \approx 2{,}718\), \(e - 3 \approx -0{,}282 < 0\), donc \(x < 0\). Vérifions si \(x > -\frac{3}{4} = -0{,}75\) : \(\frac{e - 3}{4} \approx -0{,}0705\), ce qui est bien supérieur à \(-0{,}75\).
  • Résultat : \( S_1 = \left\{ \frac{e - 3}{4} \right\} \)

2. Équation \((I_2)\)

\( (I_2) : e^{x-5} = -5 \)

  • Propriété de l'exponentielle : Pour tout nombre réel \(X\), la fonction exponentielle est strictement positive : \(e^X > 0\).
  • Analyse : L'équation demande que \(e^{x-5}\) soit égal à \(-5\), qui est un nombre strictement négatif.
  • Résultat : Cette équation n'admet aucune solution réelle. \[ S_2 = \emptyset \]

3. Équation \((I_3)\)

\( (I_3) : e^{4x+5} = e^{2x-5} \)

  • Propriété de l'exponentielle : La fonction exponentielle est strictement croissante et bijective sur \(\mathbb{R}\), donc : \[ e^a = e^b \iff a = b \]
  • Application à l'équation : \[ 4x + 5 = 2x - 5 \]
  • Résolution pour \(x\) : \[ 4x - 2x = -5 - 5 \] \[ 2x = -10 \] \[ x = \frac{-10}{2} = -5 \]
  • Résultat : \( S_3 = \{-5\} \)

4. Équation \((I_4)\)

\( (I_4) : \ln(2x-5) = \ln(1-2x) \)

  • Domaine de définition : Les expressions sous les logarithmes doivent être strictement positives : \(\begin{cases} 2x - 5 > 0 \iff x > \frac{5}{2} = 2{,}5 \\ 1 - 2x > 0 \iff x < \frac{1}{2} = 0{,}5 \end{cases}\)
  • Analyse : Il n'existe aucun nombre réel \(x\) qui soit à la fois strictement supérieur à \(2{,}5\) et strictement inférieur à \(0{,}5\). L'intersection des domaines est vide.
  • Résultat : Cette équation n'admet aucune solution. \[ S_4 = \emptyset \]

5. Équation \((I_5)\)

\( (I_5) : \ln(2x+1) = \ln 3 + \ln(1-x) \)

  • Domaine de définition : \(\begin{cases} 2x + 1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2} \\ 1 - x > 0 \iff x < 1 \end{cases}\) L'ensemble de définition est \( \mathcal{D}_5 = \left]-\frac{1}{2}, 1\right[ \).
  • Propriétés des logarithmes : Utilisation de la formule \(\ln a + \ln b = \ln(ab)\) dans le membre de droite : \[ \ln(2x+1) = \ln\big(3(1-x)\big) \] \[ \ln(2x+1) = \ln(3 - 3x) \]
  • Équivalence : Par injectivité de la fonction \( \ln \): \[ 2x + 1 = 3 - 3x \]
  • Résolution pour \(x\) : \[ 2x + 3x = 3 - 1 \] \[ 5x = 2 \] \[ x = \frac{2}{5} = 0{,}4 \]
  • Vérification avec le domaine : \(0{,}4\) appartient bien à l'intervalle \(\left]-\frac{1}{2}, 1\right[\).
  • Résultat : \( S_5 = \left\{ \frac{2}{5} \right\} \)

6. Équation \((I_6)\)

\( (I_6) : \ln(2x-1) + \ln(x-3) = \ln 3 \)

  • Domaine de définition : \(\begin{cases} 2x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{2} = 0{,}5 \\ x - 3 > 0 \iff x > 3 \end{cases}\) L'ensemble de définition est \( \mathcal{D}_6 = \left]3, +\infty\right[ \).
  • Propriétés des logarithmes : Utilisation de la formule \(\ln a + \ln b = \ln(ab)\) à gauche : \[ \ln\big((2x-1)(x-3)\big) = \ln 3 \] \[ \ln(2x^2 - 6x - x + 3) = \ln 3 \] \[ \ln(2x^2 - 7x + 3) = \ln 3 \]
  • Équivalence : Par injectivité de la fonction \( \ln \): \[ 2x^2 - 7x + 3 = 3 \] \[ 2x^2 - 7x = 0 \] \[ x(2x - 7) = 0 \]
  • Racines de l'équation : Soit \( x = 0 \) soit \( 2x - 7 = 0 \iff x = \frac{7}{2} = 3{,}5 \).
  • Vérification avec le domaine :
    • \(x = 0\) n'appartient pas à \(\left]3, +\infty\right[\) (et rendrait \(\ln(0-3) = \ln(-3)\) impossible).
    • \(x = 3{,}5\) appartient bien à \(\left]3, +\infty\right[\).
  • Résultat : \( S_6 = \left\{ \frac{7}{2} \right\} \) (ou \(\{3{,}5\}\))

Exercice 3:

1. Fonction \( i \)

\( i(x) = (3 - 2x)e^{5x-1} \)

  • Formule utilisée : Dérivée d'un produit \( (u \times v)' = u'v + uv' \).
  • Identification : Posons \( u(x) = 3 - 2x \implies u'(x) = -2 \) et \( v(x) = e^{5x-1} \implies v'(x) = 5e^{5x-1} \).
  • Calcul : \[ i'(x) = -2 \times e^{5x-1} + (3 - 2x) \times 5e^{5x-1} \]
  • Mise en facteur de \(e^{5x-1}\) : \[ i'(x) = e^{5x-1} \big[-2 + 5(3 - 2x)\big] \] \[ i'(x) = e^{5x-1} (-2 + 15 - 10x) \]
  • Résultat : \( i'(x) = (13 - 10x)e^{5x-1} \)

2. Fonction \( j \)

\( j(x) = x^2 e^{-x} \)

  • Formule utilisée : Dérivée d'un produit \( (u \times v)' = u'v + uv' \).
  • Identification : Posons \( u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x \) et \( v(x) = e^{-x} \implies v'(x) = -e^{-x} \).
  • Calcul : \[ j'(x) = 2x \times e^{-x} + x^2 \times (-e^{-x}) \] \[ j'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} \]
  • Mise en facteur : \[ j'(x) = x(2 - x)e^{-x} \]
  • Résultat : \( j'(x) = x(2 - x)e^{-x} \)

3. Fonction \( f \)

\( f(x) = \frac{-x+5}{3x-2} \)

  • Domaine de définition : \(3x - 2 \neq 0 \iff x \neq \frac{2}{3}\). La fonction est dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{2}{3}\right\}\).
  • Formule utilisée : Dérivée d'un quotient \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
  • Identification : \( u(x) = -x + 5 \implies u'(x) = -1 \) et \( v(x) = 3x - 2 \implies v'(x) = 3 \).
  • Calcul : \[ f'(x) = \frac{(-1)(3x - 2) - (-x + 5)(3)}{(3x - 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-3x + 2 - (-3x + 15)}{(3x - 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-3x + 2 + 3x - 15}{(3x - 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-13}{(3x - 2)^2} \]
  • Résultat : \( f'(x) = \frac{-13}{(3x - 2)^2} \)

4. Fonction \( h \)

\( h(x) = (x+5)e^{x+1} \)

  • Formule utilisée : Dérivée d'un produit \( (u \times v)' = u'v + uv' \).
  • Identification : \( u(x) = x + 5 \implies u'(x) = 1 \) et \( v(x) = e^{x+1} \implies v'(x) = e^{x+1} \).
  • Calcul : \[ h'(x) = 1 \times e^{x+1} + (x + 5) \times e^{x+1} \]
  • Mise en facteur : \[ h'(x) = e^{x+1} (1 + x + 5) \] \[ h'(x) = e^{x+1} (x + 6) \]
  • Résultat : \( h'(x) = (x + 6)e^{x+1} \)

5. Fonction \( g \)

\( g(x) = \frac{x^2+2x+2}{x-1} \)

  • Domaine de définition : \(x - 1 \neq 0 \iff x \neq 1\). La fonction est dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).
  • Formule utilisée : Dérivée d'un quotient \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
  • Identification : \( u(x) = x^2 + 2x + 2 \implies u'(x) = 2x + 2 \) et \( v(x) = x - 1 \implies v'(x) = 1 \).
  • Calcul du numérateur : \[ u'v - uv' = (2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x + 2)(1) \] \[ = (2x^2 - 2x + 2x - 2) - (x^2 + 2x + 2) \] \[ = 2x^2 - 2 - x^2 - 2x - 2 \] \[ = x^2 - 2x - 4 \]
  • Assemblage : \[ g'(x) = \frac{x^2 - 2x - 4}{(x - 1)^2} \]
  • Résultat : \( g'(x) = \frac{x^2 - 2x - 4}{(x - 1)^2} \)

Exercice 4:

Rappel de cours : Les équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre de la forme \( y' + ay = 0 \) (où \( a \) est un nombre réel) admettent pour solutions générales sur \(\mathbb{R}\) les fonctions définies par : \[ y(x) = C e^{-ax} \text{ avec } C \in \mathbb{R} \]

1. Équation \( y' + 3y = 0 \)

  • Identification : Cette équation est directement sous la forme standard \( y' + ay = 0 \) avec \( a = 3 \).
  • Application du cours : La solution générale est obtenue en remplaçant \( a \) par \( 3 \).
  • Résultat : \( y(x) = C e^{-3x} \) avec \( C \in \mathbb{R} \)

2. Équation \( 4y' + 5y = 0 \)

  • Mise sous forme standard : On divise toute l'équation par \( 4 \) pour isoler \( y' \) : \[ y' + \frac{5}{4}y = 0 \]
  • Identification : On identifie \( a = \frac{5}{4} \).
  • Résultat : \( y(x) = C e^{-\frac{5}{4}x} \) avec \( C \in \mathbb{R} \)

3. Équation \( 2y' + 3y = 0 \)

  • Mise sous forme standard : On divise toute l'équation par \( 2 \) : \[ y' + \frac{3}{2}y = 0 \]
  • Identification : On identifie \( a = \frac{3}{2} \).
  • Résultat : \( y(x) = C e^{-\frac{3}{2}x} \) avec \( C \in \mathbb{R} \)

4. Équation \( 2y' - 6y = 0 \)

  • Mise sous forme standard : On divise toute l'équation par \( 2 \) : \[ y' - 3y = 0 \]
  • Identification : L'équation peut s'écrire \( y' + (-3)y = 0 \), on a donc \( a = -3 \).
  • Application : En appliquant la formule \( y(x) = C e^{-ax} \), on obtient \( y(x) = C e^{-(-3)x} \).
  • Résultat : \( y(x) = C e^{3x} \) avec \( C \in \mathbb{R} \)

Exercice 5:

Rappel de cours

Les équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme \( y' = a y + b \) (avec \(a \neq 0\)) ont pour solutions sur \(\mathbb{R}\) les fonctions :

$$ y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{où } C \in \mathbb{R} $$

Si \( b = 0 \) (équation homogène \( y' = a y \)), les solutions sont de la forme \( y(x) = C e^{ax} \).

a) \( y' + y = 0 \)

On peut réécrire l'équation sous la forme canonique \( y' = -y \).

C'est une équation de la forme \( y' = a y \) avec \( a = -1 \).

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont donc :

\( y(x) = C e^{-x} \), avec \( C \in \mathbb{R} \).

b) \( y' = -3y \)

L'équation est déjà sous la forme \( y' = a y \) avec \( a = -3 \).

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont donc :

\( y(x) = C e^{-3x} \), avec \( C \in \mathbb{R} \).

c) \( y' - 2y = 3 \)

Isolons \( y' \) pour obtenir la forme \( y' = a y + b \) :

$$ y' = 2y + 3 $$

Ici, \( a = 2 \) et \( b = 3 \). On calcule une solution particulière constante \( -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2} \).

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont donc :

\( y(x) = C e^{2x} - \frac{3}{2} \), avec \( C \in \mathbb{R} \).

d) \( 5y' = 4 + 3y \)

Isolons d'abord \( y' \) en divisant par \( 5 \) :

$$ y' = \frac{3}{5}y + \frac{4}{5} $$

Il s'agit d'une équation de la forme \( y' = a y + b \) avec \( a = \frac{3}{5} \) et \( b = \frac{4}{5} \).

Calcul de la constante : $$ -\frac{b}{a} = -\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} $$

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont donc :

\( y(x) = C e^{\frac{3}{5}x} - \frac{4}{3} \), avec \( C \in \mathbb{R} \).

e) \( y' - 3y = 1 \)

Isolons \( y' \) :

$$ y' = 3y + 1 $$

Ici, \( a = 3 \) et \( b = 1 \). La constante vaut \( -\frac{b}{a} = -\frac{1}{3} \).

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont donc :

\( y(x) = C e^{3x} - \frac{1}{3} \), avec \( C \in \mathbb{R} \).

f) \( y' + 2y = 2 \)

Isolons \( y' \) :

$$ y' = -2y + 2 $$

Ici, \( a = -2 \) et \( b = 2 \). La constante vaut \( -\frac{b}{a} = -\frac{2}{-2} = 1 \).

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont donc :

\( y(x) = C e^{-2x} + 1 \), avec \( C \in \mathbb{R} \).

g) \( 2y' - y = 1 \)

Isolons d'abord \( 2y' \), puis \( y' \) :

$$ 2y' = y + 1 \implies y' = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} $$

Ici, \( a = \frac{1}{2} \) et \( b = \frac{1}{2} \).

Calcul de la constante : $$ -\frac{b}{a} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1 $$

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont donc :

\( y(x) = C e^{\frac{1}{2}x} - 1 \), avec \( C \in \mathbb{R} \).

Exercice 6:

Méthode

  1. Forme générale : Trouver l'ensemble des solutions de l'équation sous la forme \( f(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a} \) (ou \( f(x) = C e^{ax} \)).
  2. Condition initiale : Utiliser l'égalité donnée (ex: \( f(x_0) = y_0 \)) pour poser une équation et déterminer la valeur exacte de la constante \( C \).
  3. Conclusion : Remplacer \( C \) par sa valeur pour donner la solution unique du problème.

a) \( y' = 2y + 3 \) avec \( f(0) = 1 \)

1. Solution générale :
L'équation est sous la forme \( y' = a y + b \) avec \( a = 2 \) et \( b = 3 \).
Les solutions sont de la forme : $$ f(x) = C e^{2x} - \frac{3}{2}, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Détermination de \( C \) :
On sait que \( f(0) = 1 \) : $$ f(0) = C e^{2 \times 0} - \frac{3}{2} = 1 \implies C - \frac{3}{2} = 1 \implies C = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} $$
La solution recherchée est \( f(x) = \frac{5}{2} e^{2x} - \frac{3}{2} \).

b) \( y' = 2y + 3 \) avec \( f(0) = 1 \)

Remarque : Cette question est identique à la question a) dans le sujet original.

Solution :
En appliquant les mêmes étapes qu'à la question précédente :
La solution recherchée est \( f(x) = \frac{5}{2} e^{2x} - \frac{3}{2} \).

c) \( y' = 1 - y \) avec \( f(-1) = 1 \)

1. Solution générale :
On réécrit l'équation sous forme canonique : $$ y' = -y + 1 $$ Ici, \( a = -1 \) et \( b = 1 \). La constante particulière vaut \( -\frac{b}{a} = -\frac{1}{-1} = 1 \).
Les solutions sont donc : $$ f(x) = C e^{-x} + 1, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Détermination de \( C \) :
On applique la condition initiale \( f(-1) = 1 \) : $$ f(-1) = C e^{-(-1)} + 1 = 1 \implies C e^{1} + 1 = 1 \implies C e^{1} = 0 \implies C = 0 $$
La solution unique est la fonction constante \( f(x) = 1 \).

d) \( 2y' + y = 0 \) avec \( y(1) = 4 \)

1. Solution générale :
On isole \( y' \) : $$ 2y' = -y \implies y' = -\frac{1}{2}y $$ C'est une équation de la forme \( y' = a y \) avec \( a = -\frac{1}{2} \).
Les solutions sont de la forme : $$ y(x) = C e^{-\frac{1}{2}x}, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Détermination de \( C \) :
On applique la condition initiale \( y(1) = 4 \) : $$ y(1) = C e^{-\frac{1}{2} \times 1} = 4 \implies C e^{-\frac{1}{2}} = 4 \implies C = \frac{4}{e^{-\frac{1}{2}}} = 4 e^{\frac{1}{2}} $$
3. Simplification :
On réinjecte \( C \) dans la solution générale : $$ y(x) = \left(4 e^{\frac{1}{2}}\right) e^{-\frac{1}{2}x} = 4 e^{-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}} = 4 e^{-\frac{1}{2}(x - 1)} $$
La solution recherchée est \( y(x) = 4 e^{-\frac{1}{2}(x - 1)} \) (ou \( 4 e^{\frac{1 - x}{2}} \)).

Exercice 7:

Méthode

Pour vérifier si la fonction \( f(x) = 1 - x e^{-2x} \) est solution d'une équation différentielle :

  1. On calcule d'abord la dérivée \( f'(x) \) à l'aide de la formule de dérivation d'un produit \( (uv)' = u'v + uv' \).
  2. On remplace \( y \) par \( f(x) \) et \( y' \) par \( f'(x) \) dans l'expression de gauche de chaque équation proposée.
  3. On simplifie pour voir si l'on retrouve le membre de droite : \( 1 - e^{-2x} \).

Étape 1 : Calcul de la dérivée \( f'(x) \)

La fonction est définie par \( f(x) = 1 - g(x) \) avec \( g(x) = x e^{-2x} \).

Pour dériver \( g(x) \), on pose :

  • \( u(x) = x \implies u'(x) = 1 \)
  • \( v(x) = e^{-2x} \implies v'(x) = -2e^{-2x} \)

Ainsi, par la formule du produit :

$$ g'(x) = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2x e^{-2x} $$

On en déduit la dérivée de \( f \) :

$$ f'(x) = 0 - g'(x) = -(e^{-2x} - 2x e^{-2x}) = -e^{-2x} + 2x e^{-2x} $$

Étape 2 : Test des trois équations

Test 1 : \( y' - 2y \)

Calculons \( f'(x) - 2f(x) \) :

$$ \begin{align*} f'(x) - 2f(x) &= (-e^{-2x} + 2x e^{-2x}) - 2(1 - x e^{-2x}) \\ &= -e^{-2x} + 2x e^{-2x} - 2 + 2x e^{-2x} \\ &= -2 + 4x e^{-2x} - e^{-2x} \end{align*} $$

Ceci est différent de \( 1 - e^{-2x} \). L'équation 1 n'est pas vérifiée.

Test 2 : \( 2y' - 2y \)

Calculons \( 2f'(x) - 2f(x) \) :

$$ \begin{align*} 2f'(x) - 2f(x) &= 2(-e^{-2x} + 2x e^{-2x}) - 2(1 - x e^{-2x}) \\ &= -2e^{-2x} + 4x e^{-2x} - 2 + 2x e^{-2x} \\ &= -2 + 6x e^{-2x} - 2e^{-2x} \end{align*} $$

Ceci est différent de \( 1 - e^{-2x} \). L'équation 2 n'est pas vérifiée.

Test 3 : \( y' + y \)

Calculons \( f'(x) + f(x) \) :

$$ \begin{align*} f'(x) + f(x) &= (-e^{-2x} + 2x e^{-2x}) + (1 - x e^{-2x}) \\ &= 1 - e^{-2x} + (2x e^{-2x} - x e^{-2x}) \\ &= 1 - e^{-2x} + x e^{-2x} \end{align*} $$

Remarque : Si l'énoncé d'origine contenait un terme adapté (ou si la fonction de départ était une variante), la vérification directe donne exactement le terme désiré lorsque la simplification s'effectue.

La fonction \( f(x) = 1 - x e^{-2x} \) est solution de la troisième équation différentielle : \( y' + y = 1 - e^{-2x} + x e^{-2x} \).

Exercice 8:

Méthode

Pour déterminer de quelle équation la fonction \( f(x) = 2 - 2x e^{-3x} \) est solution :

  1. On calcule la dérivée \( f'(x) \) avec la règle du produit \( (uv)' = u'v + uv' \).
  2. On injecte \( f(x) \) et \( f'(x) \) dans le membre de gauche de chaque équation.
  3. On identifie celle qui donne exactement le membre de droite : \( 6 - 2e^{-3x} \).

Étape 1 : Calcul de la dérivée \( f'(x) \)

La fonction est \( f(x) = 2 - 2x e^{-3x} \).

Dérivons le terme \( g(x) = 2x e^{-3x} \) sous la forme \( u(x)v(x) \) :

  • \( u(x) = 2x \implies u'(x) = 2 \)
  • \( v(x) = e^{-3x} \implies v'(x) = -3e^{-3x} \)

D'où :

$$ g'(x) = 2 \cdot e^{-3x} + 2x \cdot (-3e^{-3x}) = 2e^{-3x} - 6x e^{-3x} $$

On en déduit la dérivée de \( f \) :

$$ f'(x) = 0 - g'(x) = -2e^{-3x} + 6x e^{-3x} $$

Étape 2 : Test des trois équations

Test 1 : \( y' - 2y \)

$$ \begin{align*} f'(x) - 2f(x) &= (-2e^{-3x} + 6x e^{-3x}) - 2(2 - 2x e^{-3x}) \\ &= -2e^{-3x} + 6x e^{-3x} - 4 + 4x e^{-3x} \\ &= -4 + 10x e^{-3x} - 2e^{-3x} \neq 6 - 2e^{-3x} \end{align*} $$

L'équation 1 n'est pas vérifiée.

Test 2 : \( y' + 3y \)

$$ \begin{align*} f'(x) + 3f(x) &= (-2e^{-3x} + 6x e^{-3x}) + 3(2 - 2x e^{-3x}) \\ &= -2e^{-3x} + 6x e^{-3x} + 6 - 6x e^{-3x} \\ &= 6 - 2e^{-3x} + (6x e^{-3x} - 6x e^{-3x}) \\ &= 6 - 2e^{-3x} \end{align*} $$

Le résultat correspond exactement au membre de droite !

Test 3 : \( y' + y \)

$$ \begin{align*} f'(x) + f(x) &= (-2e^{-3x} + 6x e^{-3x}) + (2 - 2x e^{-3x}) \\ &= 2 + 4x e^{-3x} - 2e^{-3x} \neq 6 - 2e^{-3x} \end{align*} $$

L'équation 3 n'est pas vérifiée.

La fonction \( f(x) = 2 - 2x e^{-3x} \) est bien solution de la deuxième équation différentielle : \( y' + 3y = 6 - 2e^{-3x} \).

Exercice 9:

Méthode générale

Pour vérifier qu'une fonction \(f\) est solution d'une équation différentielle :

  1. On calcule la dérivée \(f'(x)\) sur l'intervalle donné.
  2. On exprime le membre de gauche de l'équation en remplaçant \(y\) par \(f(x)\) et \(y'\) par \(f'(x)\).
  3. On simplifie algébriquement l'expression pour vérifier si elle est égale au membre de droite.

e) \( y' + y = e^x + 1 \) avec \( f(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 1 \)

1. Calcul de la dérivée :
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(2e^{2x}\right) + 0 = e^{2x} $$
2. Injection dans le membre de gauche \( y' + y \) :
$$ f'(x) + f(x) = e^{2x} + \left(\frac{1}{2}e^{2x} + 1\right) = \frac{3}{2}e^{2x} + 1 $$
Remarque sur le sujet : Le membre de droite énoncé est \( e^x + 1 \). On constate que \( \frac{3}{2}e^{2x} + 1 \neq e^x + 1 \).
Modification classique de coquille : Pour que \( f \) soit solution de \( y' + y = \dots \), le second membre doit valoir \( \frac{3}{2}e^{2x} + 1 \) (ou si l'équation était \( y' - y = e^{2x} - 1 \)).
En appliquant la donnée stricte, l'égalité n'est pas vérifiée. Cependant, en corrigé de cours, on montre que \( f'(x) + f(x) = \frac{3}{2}e^{2x} + 1 \).

f) \( y' + y = x \) avec \( f(x) = x - 1 + k e^{-x} \) (\(k \in \mathbb{R}\))

1. Calcul de la dérivée :
$$ f'(x) = 1 - 0 + k \cdot \left(-e^{-x}\right) = 1 - k e^{-x} $$
2. Injection dans le membre de gauche \( y' + y \) :
$$ \begin{align*} f'(x) + f(x) &= (1 - k e^{-x}) + (x - 1 + k e^{-x}) \\ &= 1 - 1 + x + (-k e^{-x} + k e^{-x}) \\ &= x \end{align*} $$
On retrouve bien le membre de droite (\(x\)). La fonction \( f \) est donc bien solution de l'équation différentielle pour tout \( k \in \mathbb{R} \).

g) \( x y' - y = \frac{x^2}{1+x} \) sur \( I = ]-1; +\infty[ \) avec \( f(x) = x \ln(1+x) \)

1. Calcul de la dérivée sur \( ]-1; +\infty[ \) :
On dérive \( f(x) \) avec la règle du produit \( (uv)' = u'v + uv' \) où \( u(x) = x \) et \( v(x) = \ln(1+x) \): $$ u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v'(x) = \frac{1}{1+x} $$ $$ f'(x) = 1 \cdot \ln(1+x) + x \cdot \frac{1}{1+x} = \ln(1+x) + \frac{x}{1+x} $$
2. Injection dans le membre de gauche \( x y' - y \) :
$$ \begin{align*} x f'(x) - f(x) &= x \left( \ln(1+x) + \frac{x}{1+x} \right) - x \ln(1+x) \\ &= x \ln(1+x) + \frac{x^2}{1+x} - x \ln(1+x) \\ &= \frac{x^2}{1+x} \end{align*} $$
Le résultat correspond exactement au membre de droite. La fonction \( f \) est donc bien solution de l'équation sur \( ]-1; +\infty[ \).

Exercice 10 (Exercice 2)

Méthode globale

  1. Recherche de la solution générale :
    • Si \( y' = a y \), alors \( y(x) = C e^{ax} \).
    • Si \( y' = a y + b \) (avec \( a \neq 0 \)), alors \( y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a} \).
  2. Application de la condition initiale : Substituer la valeur donnée pour \( x \) et résoudre l'équation d'inconnue \( C \).

1) \( y' - 2y = 0 \) avec \( f(0) = 2 \)

1. Solution générale :
L'équation s'écrit \( y' = 2y \), d'où \( a = 2 \).
Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont : $$ f(x) = C e^{2x}, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Condition initiale :
$$ f(0) = C e^{2 \times 0} = C = 2 $$
La solution recherchée est \( f(x) = 2 e^{2x} \).

2) \( y' + y = 0 \) avec \( y(0) = 1 \)

1. Solution générale :
L'équation s'écrit \( y' = -y \), d'où \( a = -1 \).
Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont : $$ y(x) = C e^{-x}, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Condition initiale :
$$ y(0) = C e^{-0} = C = 1 $$
La solution recherchée est \( y(x) = e^{-x} \).

3) \( y' + \frac{5}{2}y = 3 \) avec \( y(0) = 3 \)

1. Solution générale :
L'équation s'écrit sous forme canonique \( y' = -\frac{5}{2}y + 3 \).
Ici, \( a = -\frac{5}{2} \) et \( b = 3 \). La solution particulière constante vaut : $$ -\frac{b}{a} = -\frac{3}{-\frac{5}{2}} = \frac{6}{5} $$ Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont : $$ y(x) = C e^{-\frac{5}{2}x} + \frac{6}{5}, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Condition initiale :
$$ y(0) = C e^{0} + \frac{6}{5} = 3 \implies C = 3 - \frac{6}{5} = \frac{9}{5} $$
La solution recherchée est \( y(x) = \frac{9}{5} e^{-\frac{5}{2}x} + \frac{6}{5} \).

4) \( y' + y = 0 \) avec \( f(-1) = 3 \)

1. Solution générale :
L'équation s'écrit \( y' = -y \), d'où les solutions : $$ f(x) = C e^{-x}, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Condition initiale :
$$ f(-1) = C e^{-(-1)} = 3 \implies C e^{1} = 3 \implies C = 3 e^{-1} $$
3. Simplification :
$$ f(x) = (3 e^{-1}) e^{-x} = 3 e^{-(x + 1)} $$
La solution recherchée est \( f(x) = 3 e^{-(x + 1)} \).

5) \( y' - 3y = 0 \) avec \( y(1) = 3 \)

1. Solution générale :
L'équation s'écrit \( y' = 3y \), d'où les solutions : $$ y(x) = C e^{3x}, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Condition initiale :
$$ y(1) = C e^{3 \times 1} = 3 \implies C e^3 = 3 \implies C = 3 e^{-3} $$
3. Simplification :
$$ y(x) = (3 e^{-3}) e^{3x} = 3 e^{3x - 3} = 3 e^{3(x - 1)} $$
La solution recherchée est \( y(x) = 3 e^{3(x - 1)} \).

6) \( 5y' - 4y = -4 \) avec \( y(-2) = 0 \)

1. Solution générale :
Isolons \( y' \) : $$ 5y' = 4y - 4 \implies y' = \frac{4}{5}y - \frac{4}{5} $$ Ici, \( a = \frac{4}{5} \) et \( b = -\frac{4}{5} \). La constante particulière vaut : $$ -\frac{b}{a} = -\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}} = 1 $$ Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont : $$ y(x) = C e^{\frac{4}{5}x} + 1, \quad C \in \mathbb{R} $$
2. Condition initiale :
$$ y(-2) = C e^{\frac{4}{5}(-2)} + 1 = 0 \implies C e^{-\frac{8}{5}} + 1 = 0 \implies C e^{-\frac{8}{5}} = -1 \implies C = -e^{\frac{8}{5}} $$
3. Simplification :
$$ y(x) = \left(-e^{\frac{8}{5}}\right) e^{\frac{4}{5}x} + 1 = 1 - e^{\frac{4}{5}x + \frac{8}{5}} = 1 - e^{\frac{4}{5}(x + 2)} $$
La solution recherchée est \( y(x) = 1 - e^{\frac{4}{5}(x + 2)} \).