Objectifs :
- Résoudre une équation différentielle $ay′\ +\ by\ =\ c(t)$ où $a$, $b$ sont des constantes réelles et $c$ une fonction continue à valeurs réelles.
- Représenter à l’aide d’un logiciel la famille des courbes représentatives des solutions d’une équation différentielle.
- Résoudre une équation différentielle du premier ordre :
- à la main dans les cas simples ;
- à l’aide d’un logiciel de calcul formel dans tous les cas.
- Déterminer la solution vérifiant une condition initiale donnée :
- à la main dans les cas simples ;
- à l’aide d’un logiciel de calcul formel dans tous les cas.
Partie 1 :Notion d’équation différentielle
Définition : Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
Notation : L’équation différentielle $f'(x)\ =\ 5$ peut se noter $y'\ =\ 5$ en considérant que \(y\) est une fonction inconnue qui dépend de \(x\).
Rappel Primitive: Dans ce cas, une solution de cette équation est $ y\ =\ 5x\ +\ C$ avec $C$ une constante réelle ($C\in\mathbb{R}$). En effet, $(5x + C)'\ =\ 5$).
Notation : On peut également noter l’équation différentielle sous la forme : $(f'(x)\ =\ \frac{d f}{d x}\ =\ 5$.
Rappel Primitive: Une solution de l’équation différentielle $ y'\ =\ 2x $ est $y\ =\ x^2 \ + C$ avec $C$ une constante réelle ($C\in\mathbb{R}$).
Pour une équation différentielle, la solution n’est habituellement pas unique.
Par exemple, $y\ =\ x^2\ +\ 1 $ est une autre solution de l’équation différentielle.
En effet, $(x^2\ +\ 1)'\ =\ 2x$ .
Activité 1
Compétence :
Méthode : Vérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle
Prouver que la fonction $g$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par
$g(x) = 3x^2 + \ln(x)$ est solution de l’équation différentielle
$y'(x) = 6x + \dfrac{1}{x}$.
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● Cliquez pour voir la correction ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Pour tout $x \in ]0 ; +_infty[$, on a :
$$g'(x) = 3 \times 2x + \dfrac{1}{x} = 6x + \dfrac{1}{x}$$
Donc $g$ est bien solution de l’équation différentielle donnée.
Partie 2 : Équations différentielles du type $y’=ay$
Propriété :Les solutions de l’équation différentielle $y’=ay$, $a \in \mathbb{R}$, sont les fonctions de la forme $x\ \mapsto Ce^(ax)$, où $C$ est une constante réelle quelconque.
Activité 2
Compétence :
Méthode : Résoudre une équation différentielle du type $y’=ay$
Nous considérons l’équation différentielle $3y'\ + \ 5y \ =\ 0$.
- Déterminer la forme générale des solutions de l’équation.
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● Cliquez pour voir la correction ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
$$3y'\ + \ 5y \ =\ 0 \Leftrightarrow\ 3y'\ =\ -5y$$
$$\Leftrightarrow\ y'\ =\ -\frac{5}{3}y$$
Les solutions sont de la forme : $y_H (x)\ =\ Ce^{-\frac{5}{3}x}, C\in \mathbb{R}$.
- Représenter à l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● Cliquez pour voir la correction ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Pour les différentes valeurs de $C$, on obtient ;
image
Géogébra
- Déterminer l’unique solution telle que $y(1)=2$.
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● Cliquez pour voir la correction ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Pour $y(1)=2$ :
$$y_p (1)\ =\ Ce^{-\frac{5}{3}\times 1}$$
$$2\ =\ Ce^{-\frac{5}{3}}$$
$$2e^{\frac{5}{3}}\ =\ C$$
Donc $y(x)=2e^{\frac{5}{3}}e^{-\frac{5}{3}x}\ =\ 2e^{\frac{5}{3}(1-x)}$ est donc une solution de l’équation différentielle donnée.
Propriété : Si $f$ et $g$ sont deux solutions de l’équation différentielle $y’=ay$, $a \ \in \ \mathbb{R}$ alors $f+g$ et $kf, k$sont également solutions de l’équation différentielle.
Démonstrations :
Partie 3 : Équations différentielles du type $y’\ =\ ay\ +\ b$
Propriété : La fonction $x\ \mapsto \ \frac{b}{a} $ est solution de l’équation différentielle
$y’=ay+b$ $(a≠0)$. Cette solution est appelée solution particulière constante.
Démonstration :
\(g\) est donc solution de l’équationdifférentielle\(y’=ay+b.\)
Propriété : Les solutions de l’équation différentielle \(y’=ay+b\) (\(a\)et \(b\)deux réels, \(a\)non nul) sont les fonctions de la forme :
où \(u\)est la solution particulière constante de l’équation différentielle\(y’=ay+b\)
et \(v\)est une solution quelconque de l’équation différentielle\(y’=ay\).
Remarque : L’équation \(y’=ay+b\) est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
Corollaire : Les solutions de l’équation différentielle $y’\ =\ ay\ +\ b$ sont les fonctions de la forme $x\ \maspto Ce^(ax) + \frac{b}{a}$, où $C\ \in \mathbb{R}$.
Activité 3
Compétence :
Méthode : Résoudre une équation différentielle du type $y’\ =\ ay\ +\ b$
Nous considérons l’équation différentielle $2y'\ - \ y \ =\ 3$.
- Déterminer la forme générale des solutions de l’équation.
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● Cliquez pour voir la correction ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
$$2y'\ - \ y \ =\ 3 \Leftrightarrow\ 2y'\ - \ y \ =\ 0$$v
$$\Leftrightarrow\ y'\ =\ -\frac{1}{2}y$$
Les solutions sont de la forme : $y_H (x)\ =\ Ce^{-\frac{1}{2}x}, C\in \mathbb{R}$.
On pose la solution $y\ =\ y_H\ +\ y_p$ avec $y_p$ une fonction réelle et constante.
Ainsi $y'= -\frac{C}{2}.e^{-\frac{1}{2}x}$
On remplace dans l'équation différentielle l'expression de $y'$ et $y$ :
$$2y'\ - \ y \ =\ 3 $$
$$\Leftrightarrow\ 2(-\frac{C}{2}.e^{-\frac{1}{2}x})\ -\ (Ce^{-\frac{1}{2}x}\ + \ y_p) \ =\ 3$$
$$\Leftrightarrow\ C.e^{-\frac{1}{2}x}\ -\ Ce^{-\frac{1}{2}x}\ - \ y_p \ =\ 3$$
$$\Leftrightarrow\ - y_p \ =\ 3$$
$$\Leftrightarrow\ y_p \ =\ -3$$
La solution de l'équation différentielle est donc : $y\ =\ Ce^{-\frac{1}{2}x}\ -\ 3$
- Déterminer l’unique solution telle que $f(0)\ =\ -1$.
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● Cliquez pour voir la correction ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
La solution de l'équation différentielle est donc : $y\ =\ Ce^{-\frac{1}{2}x}\ -\ 3$
On pose une condition initale
$$y(0)\ =\ -1 \ \Leftrightarrow $y(0)\ =\ Ce^{-\frac{1}{2}\times 0}\ -\ 3$$
$$\Leftrightarrow y(0)\ =\ Ce^{0}\ -\ 3$$
$$\Leftrightarrow -1\ =\ C\ -\ 3$$
$$\Leftrightarrow -1\ +\ 3\ =\ C$$
$$\Leftrightarrow 2\ =\ C$$
L'unique solution de l'équation différentielle est donc $y\ =\ 2.e^{-\frac{1}{2}x}\ -\ 3$
Partie 4 : Équations différentielles du type $y’\ =\ ay\ +\ b$
Activité 4
Compétence :
Méthode : Résoudre une équation différentielle du type $y’\ =\ ay\ +\ f$
Nous considérons l’équation différentielle $y'\ - \ 2y \ =\ x^2 $.
- Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)= -\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ est une solution particulière de l'équation différentielle.
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● Cliquez pour voir la correction ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
- Déterminer la dérivée de la fonction $u$
$$u(x)= -\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \Leftrightarrow\ u'(x)= -\frac{2}{2}x-\frac{1}{2} = -x-\frac{1}{2}$$
- Remplacer les expressions de $y'$ et $y$ par $u'$ et $u$ dans l'équation différentielle
$$y'\ - \ 2y \ =\ x^2 $$
$$u'(x)\ - \ 2u(x) = \left(-x-\frac{1}{2}\right) - \ 2\left(-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right) $$
$$= -x-\frac{1}{2} +\frac{2}{2}x^2+\frac{2}{2}x+\frac{2}{4} = -x-\frac{1}{2} +\frac{2}{2}x^2+x+\frac{2}{4} =\frac{2}{2}x^2\ =\ x^2$$
On retrouve bien $u'(x)\ - \ 2u(x) = x^2$ donc la fonction $u$ est bien une solution particulière de l'équation différentielle
- En déduire la forme générale de toutes les solutions de l’équation différentielle.
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● Cliquez pour voir la correction ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
- Déterminerla solution de l'équation différentielle homogène $y'\ - \ 2y \ =\ 0$
$$y_H\ =\ Ce^{2x}, C\in \mathbb{R}$$
- Rajouter la solution homogène et la solution particulière :
$$y\ =\ y_H\ +\ y_p$$
$$y\ =\ Ce^{2x}\ +\ (-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})$$
Activité 5
Compétence :
Méthode : Résoudre une équation différentielle du type $y’\ =\ ay\ +\ f$
Résoudreles équations différentielles du premier ordre suivantes :
- $y' \ +\ 3y\ =\ 0$(2 min)
- $2y' \ +\ 3y\ =\ 0$ (2 min)
- $4y'\ +\ 5y\ =\ 0$ (2 min)
- $2y'\ -\ 6y\ =\ 0$ (2 min)
Activité 6
Compétence :
Méthode : Résoudre une équation différentielle du type $y’\ =\ ay\ +\ b$
- Résoudre l’équation différentielle du premier ordre $(E): 4y'\ +\ 5y\ =\ 6$
- Déterminer la solution de l’équation différentielle $(E)$, avec $f(0)\ =\ 3$. (4 min)
Activité 7
Compétence :
Méthode : Résoudre une équation différentielle du type $y’\ =\ ay\ +\ f$
- Vérifier que la fonction $f$ est une solution de l'équation proposée
$2y'\ + \ 3y\ =\ \frac{1}{3}e^{-x}$ avec $f(x)\ =\ \frac{1}{3}e^{-x}$
- Résoudre l'équation différentielle du premier ordre $2y'\ + \ 3y\ =\ \frac{1}{3}e^{-x}$. (4 min)
Activité 8
Compétence :
Méthode : Résoudre une équation différentielle du type $y’\ =\ ay\ +\ f$
- Vérifier que la fonction $f$ est une solution de l'équation proposée
$y'\ - \ y\ =\ x$ avec $f(x)\ =\ -x\ -\ 1$
- Résoudre l'équation différentielle du premier ordre $y'\ - \ y\ =\ x$. (4 min)
Activité 9
Compétence :
Méthode : Déterminer une unique solution d'une équation différentielle
- Déterminer la fonction $f$ solution vérifiant la condition initiale $y'\ - \ 2y\ =\ 0$ avec $f(0)\ =\ 2$. (4 min)
- Déterminer la fonction $f$ solution vérifiant la condition initiale $y'\ + \ y\ =\ 0$ avec $f(-1)\ =\ 3$. (4 min)