Exercice Supplémentaire 6 :
Soit (E) l’équation différentielle $2y'-y=4x+1$
- Déterminer les nombres a et b tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=ax+b$ soit solution de (E).
- Résoudre sur $\mathbb{R}$ les solutions de $ (E_0 ):2y'-y=0$ sur R
- En déduire les solutions de (E) sur $\mathbb{R}$.
- Déterminerla solution de (E) qui s'annule en 2
Déterminer les nombres a et b tels que la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=ax+b$ soit solution de (E).
$$g(x) = ax+ b \quad g'(x)= 0 $$
$$2y'-y=4x+1$$
$$2g'-g=4x+1$$
$$2(a)-(ax+b)=4x+1 $$
$$ 2 a -a x + b = 4x+ 1 $$
$$-ax = 4x $$
$$2a + b = 1$$
$$a= -4$$
$$2a + b = -8 +b \Leftrightarrow -8 +b = 1$$
$$b = 1 + 8 = 9$$
DOnc $a = -4 $ et $ b = 9$ DOnc g(x) = -4x +9
Résoudre sur $\mathbb{R}$ les solutions de $ (E_0 ):2y'-y=0$ sur R
$$2y'-y=0 $$
$$2y' = y$$
$$y' = 1/2 y$$
$$y= Ce^{x/2}, C\in \mathbb{R} $$
Les solutions générales de $ (E_0 ):2y'-y=0$ est donnée par :
$$y= Ce^{x/2}, C\in \mathbb{R} $$
En déduire les solutions de (E) sur $\mathbb{R}$.
$$y= Ce^{x/2} - 4x +9$$
Déterminerla solution de (E) qui s'annule en 2.
$$y(2) = 0$$
$$y(2) = Ce^{2/2} - 4*(2) +9$$
$$0 = Ce^{1} - 8 +9$$
$$0 = Ce^{1} - 1$$
$$1 = Ce^{1}$$
$$1 = Ce$$
$$C\ = \frac{1}{e} \quad Propriété \ e^{-a} \ = \frac{1}{e^a}$$
$$C\ = e^{-1}$$
La solution est $$y= e^{-1}e^{x/2} - 4x +9 \quad Propriété \ e^{a}e^{b} \ = e^{a+b}$$
$$y= e^{x/2-1} - 4x +9$$