Exercice Supplémentaire 3:

  1. Vérifier que la fonction $f$ définie sur R par $f(x)=1-xe^{-2x}$ soit solution de l’une des équations différentielles suivantes.

  • Calculer la dérivée de la fonction $f$.
  • Remplacer y' par $f'$ et $y$ par $f$
  • Retrouver le terme de droite
$$f(x)=1-xe^{-2x}$$ On a $f$ une fonction du type $(uv)' = u'v+uv'$ $$u(x) = x \quad u'(x) = 1$$ $$v(x) = e^{-2x} \quad v'(x) = -2e^{-2x}$$ $$f'(x) = (1)' -(2.e^{-2x}+x.(-2e^{-2x}))$$ $$f'(x) = -(2.e^{-2x} -2xe^{-2x})$$ $$f'(x) = -2.e^{-2x} + 2xe^{-2x}$$
  • y'-2y=1-e^{-2x}
    • $$\left(-2.e^{-2x} + 2xe^{-2x}\right) -2 \left(1-xe^{-2x}\right) =1-e^{-2x}$$ $$-2.e^{-2x} + 2xe^{-2x} -2 + 2xe^{-2x} =1-e^{-2x}$$ $$-2.e^{-2x} + 4xe^{-2x} -2 =1-e^{-2x}$$ f n'est pas solution de y'-2y=1-e^{-2x}
  • 2y'-2y=1-e^{-2x}
    • $$2\left(-2.e^{-2x} + 2xe^{-2x}\right) -2 \left(1-xe^{-2x}\right) =1-e^{-2x}$$ $$-4.e^{-2x} + 4xe^{-2x} -2 + 2xe^{-2x} =1-e^{-2x}$$ $$-2.e^{-2x} -4.e^{-2x} +6xe^{-2x} =1-e^{-2x}$$ f n'est pas solution de y'-2y=1-e^{-2x}
  • y'+ y=1-e^{-2x}
    • $$\left(-2.e^{-2x} + 2xe^{-2x}\right) - \left(1-xe^{-2x}\right) =1-e^{-2x}$$ $$-2.e^{-2x} + 2xe^{-2x} -1 + xe^{-2x} =1-e^{-2x}$$ $$-2.e^{-2x} + 3xe^{-2x} -1 =1-e^{-2x}$$ f n'est pas solution de y'-2y=1-e^{-2x}
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