Exercice Supplémentaire 3:
- Vérifier que la fonction $f$ définie sur R par $f(x)=1-xe^(-2x)$ soit solution de l’une des équations différentielles suivantes.
- y'-2y=1-e^{-2x}
2y^'-2y=1-e^(-2x)
y^'+ y=1-e^(-2x)
Exercice Supplémentaire 3 :
Résoudre l’équation différentielle $(E) : 2y' + y=0$.
- Identifier l'équation différentielle:
Type : $y'=ay
- SOlution du type $y =Ce^{ax}$ avec C une constante réelle
$(E) : 2y' + y=0$
$$2y'= -y$$
$$y'= \frac{-1}{2}y$$
$$y\ =\ Ce^{\frac{-1}{2}x}, C\in \mathbb{R}$$
Les solutions générales de l’équation différentielle $(E) : 2y' + y=0$ est :
$$y\ =\ Ce^{\frac{-1}{2}x}, C\in \mathbb{R}$$
Déterminer les solutions f qui vérifie $f(ln(4))=1$.
- Représendre les solutions générales de l'équation différentielle:
- Remplacer x par $ln(4)
- Déterminer la constante $C$
Les solutions générales de l’équation différentielle $(E) : 2y' + y=0$ est :
$$y\ =\ Ce^{\frac{-1}{2}x}, C\in \mathbb{R}$$
La condition initiale est $f(0)=1$:
$$y(ln(4))\ =\ Ce^{\frac{-1}{2}\times ln(4)}$$
$$1\ =\ Ce^{\frac{-ln(4)}{2} }$$
$$1\ =\ Ce^{\frac{-ln(2^2)}{2}} \quad \text{Propriété : $ln(a^n) = n.ln(a)$ } $$
$$1\ =\ Ce^{\frac{-2.ln(2)}{2}} $$
$$1\ =\ Ce^{-ln(2)} $$
$$\frac{1}{e^{-ln(2)}}\ =\ C$$
$$e^{ln(2)}\ =\ C\quad e^{ln(a)} = a$$
$$2\ =\ C$$
La solution générale de l’équation différentielle $(E) $ est :
$$y\ =\ 2e^{\frac{-1}{2}x}$$