La métrique de Schwarzschild
$$\delta s^{2}\ =\ c^{2}\left(1\ -\ \frac{2.G.M}{r.c^{2}}\right) \delta t ^{2}\ -\ \frac{1}{\left(1\ -\ \frac{2.G.M}{r.c^{2}}\right)}\delta r^{2}\ -\ r^{2}\delta \theta\ - \ r^{2}sin^{2}\theta \delta \phi^{2} $$
Si nous nous interessons à la zone :
$$ \frac{1}{\left(1\ -\ \frac{2.G.M}{r.c^{2}}\right)} $$
G est la constante gravitationnelle : $6,67\ \times\ 10^{-11} m^{3}.kg^{−1}.s^{−2}$
M est la masse de l'objet
c est la vitesse de la lumière dans le vide: $3 \times\ 10^{8} m/s$.
Nous constatons que si
$ 1\ -\ \frac{2.G.M}{r.c^{2}} \ =\ 0 $
Nous obtenons une valeur interdite : l'expression n'existe pas.
Que se passe - t -il si :
$1\ =\ \frac{2.G.M}{r.c^{2}} $
$$ r\ =\ \frac{2.G.M}{c^{2}} $$
Ainsi $R_{s}$ est le rayon de Schwarzschild $\fbox{R_{S}\ =\ \frac{2.G.M}{c^{2}}}$
Pour la Terre :
Masse de la Terre $6\ \times \ 10^{24}\ kg$
Rayon de la Terre $6 378 km$
Rayon Schwarzschild pour la Terre : $R_{S}\ =\ 0,0088\ m$ soit $9\ mm$
Pour le Soleil :
Masse du Soleil $2\ \times \ 10^{30}\ kg$
Rayon du Soleil $696 000 km$
Rayon Schwarzschild pour le Soleil : $R_{S}\ =\ 2\ 964\ m$ soit $3\ km$
Image de 07/12/2017 prise par NASA Goddard Image Originale
On définit la compacitée $\Xi$ d'un objet de rayon R :
$$\Xi\ =\ \frac{R_{S}}{R} $$
Lorsque $\Xi\ =\ 1$ cela signifie que $R_{S}\ = \ R$
On obtient un Trou Noir
Pour une étoile à neutrons la compacité est de $\Xi\ =\ 0,15$
Les effets relativistes commencent à se faire sentir.
Masse étoile à neutrons $2,8\ \times \ 10^{30}\ kg$
Rayon du étoile à neutrons $30 km$
Rayon Schwarzschild d'un étoile à neutrons : $R_{S}\ =\ 4\ 150\ m$ soit $4,2\ km$
