Exercice 1 : Simplifier :
\( A\ =\ \dfrac{e^{3x+2} \cdot e^{x-1}}{e^{2x} \cdot e^{4}} \)
$$A\ =\ \dfrac{e^{3x+2}.e^{x-1}}{e^{2x}.e^{4}}$$ $$A\ =\ \dfrac{e^{3x+2+x-1}}{e^{2x +4}} \quad \text{\color{red}{Propriété : $e^a \times e^b = e^{a+b}$}}$$ $$A\ =\ \dfrac{e^{4x+1}}{e^{2x +4}} \quad \text{\color{red}{Propriété : $e^a \times e^b = e^{a+b}$}}$$ $$A\ =\ e^{4x+1-(2x +4)}\quad \text{\color{red}{Propriété : $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$}}$$ $$A\ =\ e^{4x+1-2x -4}$$ $$A\ =\ e^{2x-3}$$Exercice 2 : Simplifier :
\( B\ =\ \ln(e^{2x+1}) + \ln(e^{x}) - \ln(e^{3x}) \)
$$B\ =\ 2x+1 + x - 3x \quad \text{\color{red}{Propriété : $e^{\ln(a)} = a$}}$$ $$B\ =\ 1$$Exercice 3 : Simplifier complètement :
\( C\ =\ e^{\ln(5x^2)} \cdot e^{2\ln(x)} \)
$$C\ =\ e^{\ln(5x^2)} \cdot e^{\ln(x)^2}\quad \text{\color{red}{Propriété : $k \ln(a) = \ln(a^{k})$}}$$ $$C\ =\ 5x^2 \cdot (x)^2\quad \text{\color{red}{Propriété : $e^{\ln(a)} = a$}}$$ $$C\ =\ 5x^4$$Exercice 4 : Simplifier et exprimer sous forme d’une seule exponentielle :
\( D \ =\ e^{3x} \cdot (e^{2x})^{2} \cdot \dfrac{1}{e^{x+1}} \)
$$D\ =\ e^{3x} \cdot (e^{4x}) \cdot \dfrac{1}{e^{x+1}}\quad \text{\color{red}{Propriété : $k \ln(a) = \ln(a^{k})$}}$$ $$D\ =\ e^{3x+4x} \cdot \dfrac{1}{e^{x+1}}\quad \text{\color{red}{Propriété : $e^a \times e^b = e^{a+b}$}}$$ $$D\ =\ e^{7x} \cdot \dfrac{1}{e^{x+1}}$$ $$D\ =\ e^{3x+4x-(x+1)}$$ $$D\ =\ e^{3x+4x-x-1}$$ $$D\ =\ e^{6x-1}$$Exercice 5 : Simplifier complètement :
\( E\ =\ \ln\!\left(\dfrac{e^{4x+2}}{(e^{x})^{3} \cdot e^{2}}\right) \)
$$E\ =\ \ln\!\left(\dfrac{e^{4x+2}}{e^{3x} \cdot e^{2}}\right)\quad \text{\color{red}{Propriété : $k \ln(a) = \ln(a^{k})$}}$$ $$E\ =\ \ln\!\left(\dfrac{e^{4x+2}}{e^{3x+2}}\right)\quad \text{\color{red}{Propriété : $e^a \times e^b = e^{a+b}$}}$$ $$E\ =\ \ln\!\left(e^{4x+2-(3x+2)}\right)\quad \text{\color{red}{Propriété : $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$}}$$ $$E\ =\ \ln (e^{4x+2-3x-2})$$ $$E\ =\ \ln (e^{x})$$ $$E\ =\ x$$