Cours : Les limites ../../logo

Introduction

Une limite en un point $a$ correspond aux valeurs de la fonction lorsque x se rapproche de $a$.
Généralement, nous étudions les limites d'une fonction aux bornes de son domaine de définition. Cette opération, nous donne ainsi les valeurs de limites de notre fonction.
Soit une fonction $f(x)$ définie sur l'intervalle I$\in [a\ ;\ b]$ :
Lorsque $x$ tend vers $a$, $f(x)$ se rapproche de $f(a)$ : $$ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$$ Lorsque $x$ tend vers $b$, $f(x)$ se rapproche de $f(b)$ : $$ \lim\limits_{x\to b} f(x) = f(b)$$

Limites des fonctions usuelles

\begin{array} \hline & x^{n}\ & x^n & & & & & \\ f(x) & n\in\mathbb{N} & n\in\mathbb{N} & \dfrac{1}{x^n} & \ln(x) & \exp(x) & \cos(x) & \sin(x) \\ & n pair & n\ impair & n\in\ \mathbb{N} & & & & \\ \hline \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) & ............ & ............ & ............ &............ & ............ & ............ &............ \\ \hline \lim\limits_{x \to 0^-}f(x) & ............ &............ & ............ &............ & ............ & ............ &............ \\ \hline \lim\limits_{x \to 0^+}f(x) & ............ & ............ & ............ &............ & ............ & ............ &............ \\ \hline \lim\limits_{x \to +\infty}f(x) & ............ & ............ & ............ &............ & ............ & ............ &............ \\ \hline \end{array}

\begin{array} \hline & x^{n}\ & x^n & & & & & \\ f(x) & n\in\mathbb{N} & n\in\mathbb{N} & \dfrac{1}{x^n} & \ln(x) & \exp(x) & \cos(x) & \sin(x) \\ & n pair & n\ impair & n\in\ \mathbb{N} & & & & \\ \hline \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) & +\infty & -\infty & 0^* & indéfini & 0^+ & aucune & aucune \\ \hline \lim\limits_{x \to 0^-}f(x) & 0 & 0 & *\infty & indéfini & 1 & 1 & 0^- \\ \hline \lim\limits_{x \to 0^+}f(x)& 0 & 0 & +\infty & -\infty & 1 & 1 & 0^+ \\ \hline \lim\limits_{x \to +\infty}f(x) & +\infty & +\infty & 0^+ & +\infty & +\infty & aucune & aucune \\ \hline \end{array}

Les limites finies

Asymptote horizontale

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Lorsque $\lim\limits_{x\to +\ \infty} f(x)$ = l ou $\lim\limits_{x\to -\ \infty} f(x)$ = l , avec $ l\in \mathbb{R}$.
Ainsi la droite d'équation $y\ =$ l est l' asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ définie par la fonction $f(x)$ au voisinage de $∗\infty$.

Asymptote verticale

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Soit $a\in \mathbb{R}$ si $$\lim\limits_{x\to a\\ x\geq a} f(x)\ =\ *\infty$$ ou $$\lim\limits_{x\to a\\ x\leq a } f(x)\ =\ *\infty$$ La droite d'équation $x\ =\ a$ est l' asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ définie par la fonction $f(x)$

Activite : Limite
Soit la fonction f(x) = 3 - $\frac{1}{x\ +\ 1}$
Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque x tend vers + $\infty$
Indication
Déterminer la limite de X = $x\ +\ 1$
Déterminer la limite de $\frac{1}{X}$

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On pose X = $ x\ +\ 1$ $$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to +\infty}\ x\ +\ 1\ =\ +\infty \\ & \lim\limits_{x \to +\infty}\ \frac{1}{x\ +\ 1}\ =\ \lim\limits_{x \to +\infty}\ \frac{1}{+\infty}\ =\ 0^{+} \\ \end{align} $$

Asymptote oblique

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Soit $f$ une fonction et $d$ la droite d'équation $y\ =\ a.x\ +\ b$ tel que : $$\lim\limits_{x \to \pm\infty}[f(x)\ -\ (ax+b)]\ =\ 0$$.
On dit alors que la droite $d$ est une asymptote oblique à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$.

Activite :
lim3
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)\ =\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1$.
Déterminer les équations des différentes asymbotes de la fonction $f(x)$.
Indication
Repérer visuellement les bornes de la fonction $f(x)$
Repérer la nature des asymptotes aux bornes de la fonction $f(x)$


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Nous voyons que la fonction $f(x)$ semble être défini sur l'intervalle $x \ \in\ ]-\infty\ ;\ 0\ [\ \cup\ ]\ 0; +\infty[$
Elle posséde :
- 2 asymptotes obliques pour $x \ =\ -\infty$ et $x\ =\ +\infty$ - 2 asymptotes verticaux pour $x \ =\ 0^-$ et $x\ =\ 0^+$ - Pour $x \ =\ -\infty$ : $$\lim\limits_{x \to -\infty}\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1 \Rightarrow \left \{ \begin{array} & \lim\limits_{x \to -\infty}\ \dfrac{1}{x} =\ 0 \\ & \lim\limits_{x \to -\infty}\ \dfrac12 x+1 =\ -\infty \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to -\infty}\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1 \ =\ -\infty$$ Nous en déduisons que l'équation de l' asymptote oblique est $y \ =\ \dfrac12 x+1$ $$\lim\limits_{x \to \ -\infty}[f(x)\ -\ \left(\dfrac12 x+1\right)]\ \Rightarrow \ \lim\limits_{x \to \ -\infty}[\dfrac{1}{x}]\ =\ 0$$ - Pour $x \ =\ +\infty$ : $$\lim\limits_{x \to +\infty}\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1 \Rightarrow \left \{ \begin{array} & \lim\limits_{x \to +\infty}\ \dfrac{1}{x} =\ 0 \\ & \lim\limits_{x \to +\infty}\ \dfrac12 x+1 =\ +\infty \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to +\infty}\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1 \ =\ +\infty$$ Nous en déduisons que l'équation de l' asymptote oblique est $y \ =\ \dfrac12 x+1$ $$\lim\limits_{x \to \ +\infty}[f(x)\ -\ \left(\dfrac12 x+1\right)]\ \Rightarrow \ \lim\limits_{x \to \ +\infty}[\dfrac{1}{x}]\ =\ 0$$ - Pour $x \ =\ 0^-$ : $$\lim\limits_{x \to \ 0^-}\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1 \Rightarrow \left \{ \begin{array} & \lim\limits_{x \to 0^-}\ \dfrac{1}{x} =\ -\infty \\ & \lim\limits_{x \to 0^-}\ \dfrac12 x+1 =\ 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to -\infty}\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1 \ =\ -\infty$$ Nous en déduisons que l'équation de l' asymptote verticale est $x \ =\ 0$ - Pour $x \ =\ 0^+$ : $$\lim\limits_{x \to \ 0^+}\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1 \Rightarrow \left \{ \begin{array} & \lim\limits_{x \to 0^+}\ \dfrac{1}{x} =\ +\infty \\ & \lim\limits_{x \to 0^+}\ \dfrac12 x+1 =\ 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to +\infty}\ \dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1 \ =\ +\infty$$ Nous en déduisons que l'équation de l' asymptote verticale est $x \ =\ 0$

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, la notation " FI " désigne une Forme Indéterminée , c'est à dire qu'on ne sait pas calculer la limite avec les opérations élémentaires .

Limite d'une somme

\begin{array} \hline \lim~f & l & l & +\infty & -\infty & -\infty \\ \hline \lim~g & l' & \pm\infty & +\infty & -\infty & +\infty \\ \hline \lim~(f+g) & ............ & ............ & ............ & ............ & ............ \\ \hline \end{array}

\begin{array} \hline \lim~f & l & l & +\infty & -\infty & -\infty \\ \hline \lim~g & l' & \pm\infty & +\infty & -\infty & +\infty \\ \hline \lim~(f+g) & l + l' & \pm\infty & +\infty & -\infty & \textbf{F.I.} \\ \hline \end{array}

Activite :
Calculer de "sommes" de limites :
- $\lim\limits_{x \to 0}~\left(e^x+x^3\right)$=

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$\lim\limits_{x \to 0}~e^x\ =\ 1 \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x \to 0}~x^3 \ =\ 0 \quad \Rightarrow \lim\limits_{x \to 0}~\left(e^x+x^3\right)=1$

- $\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{1}{x}+x^2\right)=$

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$\lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}\ =\ 0^-\ \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x \to -\infty}~x^2\ =\ +\infty \quad \Rightarrow \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{1}{x}+x^2\right)=+\infty$

- $\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{1}{x}+x^2\right)=$

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$\lim\limits_{x \to +\infty}~\ln x \ =\ +\infty \ \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x \to +\infty}~x^2 \ =\ +\infty \quad \Rightarrow \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\ln x+x^2\right)=+\infty$.

-$\lim\limits_{x \to -\infty}\left(x+x^3\right)=$

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$\lim\limits_{x \to -\infty}~x\ =\ -\infty \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x \to -\infty}~x^3\ =\ -\infty \quad \Rightarrow \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x+x^3\right)\ =\ -\infty$

- $\lim\limits_{x \to -\infty}\left(x^2+x^3\right) = $

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$\lim\limits_{x \to -\infty}~x^2 \ = \ +\infty \quad\ et \quad\ \ \lim\limits_{x \to -\infty}~x^3 \ = \ -\infty \quad \Rightarrow \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x^2+x^3\right)$ est une forme indéterminée du type "$\infty-\infty$"

Limite d'un produit

\begin{array} \hline \lim~f & l & l\neq 0 & \pm\infty & 0 \\ \hline \lim~g & l' & \pm\infty & \pm\infty & \pm\infty \\ \hline \lim~(f\times g) & ............ & ............ & ............ & ............ \\ \hline \end{array}

\begin{array} \hline \lim~f & l & l\neq 0 & \pm\infty & 0 \\ \hline \lim~g & l' & \pm\infty & \pm\infty & \pm\infty \\ \hline \lim~(f\times g) & l\times l' & \pm\infty & \pm\infty & \text{F. I} \\ \hline \end{array}

Activite
Calculer de "produit" de limites :
- $\lim\limits_{x \to 0}~[(e^x+3)\times(e^x-2)]= $

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$\lim\limits_{x \to 0}~(e^x+3) = 4 \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x\to 0}~(e^x-2)\ = \ -1 \quad \Rightarrow \ \lim\limits_{x \to 0}~[(e^x+3)\times(e^x-2)]=-4$.

- $\lim\limits_{x \to 0^+}\left[(x-3)\times \dfrac{1}{x}\right]= $

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$\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-3)\ =\ -3\ \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x}\ =\ +\infty \quad \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to 0^+}\left[(x-3)\times \dfrac{1}{x}\right]\ =\ -\infty$

- $\lim\limits_{x \to\ -\infty}\left[(x-1)\times x^3\right]= $

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$\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)\ =\ -\infty \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x \to -\infty}~x^3\ =\ -\infty \quad\ \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to -\infty}[(x-1)\times x^3]\ =\ +\infty$.

- $\lim\limits_{x \to -\infty}\left[(x^2+1)\times \dfrac{1}{x}\right] $=

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$\lim\limits_{x \to -\infty}~(x^2+1)\ =\ +\infty \quad\ et \quad\ \lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}\ =\ 0^-\ \quad\ \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to -\infty}\left[(x^2+1)\times \dfrac{1}{x}\right]\ =\ F.I$
$\Rightarrow$ forme indéterminée du type "$0\times\infty$".

Limite d'un quotient

\begin{array} \hline \lim~f & l & l & l & \pm\infty & \pm\infty & 0 \\ \hline \lim~g & l'\neq 0 & \pm\infty & 0 & l' & \pm\infty & 0 \\ \hline \lim~\left(\dfrac{f}{g}\right) & ............ & ............ &............ & ............ &............ & ............ \\ \hline \end{array}

\begin{array} \hline \lim~f & l & l & l & \pm\infty & \pm\infty & 0 \\ \hline \lim~g & l'\neq 0 & \pm\infty & 0 & l' & \pm\infty & 0 \\ \hline \lim~\left(\dfrac{f}{g}\right) & \frac{l}{l'} & 0^{\pm} & \pm\infty& \pm\infty & \textbf{F.I} &\textbf{F.I} \\ \hline \end{array}

Activite
Calculer de "quotients" de limites :
- $\lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{e^x+3}{e^x-2}\right)= $

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$\lim\limits_{x \to 0}~(e^x+3)\ =\ 4 \quad et \quad\ \lim\limits_{x\to 0}~e^x-2)\ =\ -1 \quad\ \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{e^x+3}{e^x-2}\right)=e^5$.

-$\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\frac{1}{x}-3}{x^2}\right)= $

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$\lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{1}{x}-3\right)\ =\ -3\quad et \quad\ \lim\limits_{x \to +\infty}~x^2\ =\ +\infty \quad\ \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\frac{1}{x}-3}{x^2}\right)=0^-$.

- $\lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{x-4}{x}\right)= $

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% $\lim\limits_{x \to 0^+}~x-4\ =\ -4\ \quad et \quad\ \lim\limits_{x \to 0^+}~x\ =\ 0^+ \quad\ \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{x-4}{x}\right)=-\infty$.

- $\lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\right)= $

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$\lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x\ =\ -\infty\ \quad et \quad\ \lim\limits_{x \to 0^+}~(x-1)\ =\ -1\quad\ \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\right)=+\infty$.

- $\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x^3}\right) $

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$\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)\ =\ -\infty\ \quad et \quad\ \lim\limits_{x \to -\infty}~x^3\ =\ -\infty\quad\ \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x^3}\right)\ =\ \textbf{F.I}$
$\Rightarrow$ une forme indéterminée du type "$\frac{\pm\infty}{\pm\infty} $ ".

- $\lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\right) $

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- $\lim\limits_{x \to 0}~x^2\ =\ 0\quad et \quad\ \lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x}\ =\ 0 \quad\ \Rightarrow\ \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\right)\ =\ \textbf{F.I}$
$\Rightarrow$ une forme indéterminée du type "$\frac{0}{0} $".