Exercice : Équations Différentielle d'ordre 1

Exercice 4 :

Nous considérons l’équation différentielle y' + 3y = 5.

1. Déterminer le réel a pour que la fonction f définie par f(x) = a soit une solution de l’équation différentielle.
2. Résoudre l’équation.

Exercice 5 :

data-objectif="Recherche d’une équation particulière, Résoudre une équation diff ordre 1" " data-duree="300">Résoudre les inéquations suivantes.

1. Vérifier que la fonction h définie par h(t) = t - 5 est solution de l’équation différentielle 4y' - y = 9 - t.
2. Résoudre l’équation.

Exercice 6:

Soit l’équation différentielle (E) : y' - y = x - 1

Où 𝑦 est une fonction de la variable réelle 𝑥, définie et dérivable sur ℝ et 𝑦' sa fonction dérivée.

1. Montrer que la fonction $ℎ$ définie par h(x) = -x est solution de (E).
2. Résoudre l’équation différentielle $(E')$ : y' - y = 0.
3. En déduire les solutions de $(E)$.
4. Déterminer la solution particulière $𝑓$ qui vérifie f(1) = 0.

Exercice 7:

Soit l’équation différentielle (E) : y' + 2y = x
où 𝑦 est une fonction de la variable réelle 𝑥, définie et dérivable sur ℝ et 𝑦' sa fonction dérivée.

1. Résoudre l’équation différentielle $(H)$ : y' + 2y = 0.
2. Déterminer les deux nombres $𝑎$ et $ 𝑏$ tels que la fonction $𝑔$ définie sur ℝ par g(x) = ax + b soit solution de l’équation $(E)$.
3. Le nombre $𝐾$ désignant une constante réelle, on considère la fonction $𝑓$ définie sur ℝ par : f(x) = Ke^(-2x) + (1/2)x - 1/4. Vérifier que la fonction $𝑓$ est solution de l’équation $(E)$.
4. Déterminer le nombre réel $𝐾 $ pour que f(0) = 0.

Exercice 8

Soit l’équation différentielle (H) : 2y' - 4y = 2x + 1
où 𝑦 est une fonction de la variable réelle 𝑥, définie et dérivable sur ℝ et 𝑦' sa fonction dérivée.

1. Résoudre l’équation différentielle (H₀) : 2y' - 4y = 0.
2. Déterminer les deux nombres 𝑎 et 𝑏 tels que la fonction h définie sur ℝ par h(x) = ax + b soit solution de l’équation (H).
3. Le nombre 𝐾 désignant une constante réelle, on considère la fonction $𝑓$ définie sur ℝ par : f(x) = Ke^(2x) - (1/2)x - 1/2. Vérifier que la fonction $𝑓$ est solution de l’équation (H).
4. Déterminer le nombre réel $𝐾$ pour que f(0) = 0.

Exercice 9

Soit l’équation différentielle : (E) : y' + y = x²

1. Démontrer qu’il existe une fonction polynôme du second degré g: x ↦ ax² + bx + c solution de l’équation différentielle (E) sur R. (On déterminera a, b et c).
2. En déduire l’ensemble des solutions de (E) sur R.
3. Déterminer la solution $h$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie h(0) = 1.

Un réservoir contient 1000 L d’eau douce dont la salinité est de $0,12\ g.L^{-1}$.
À la suite d’un accident regrettable, de l’eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de $10\ L$ par minute.

On note $𝑠$ la salinité de l’eau du réservoir ; $𝑠$ est une fonction du temps $𝑡$ (exprimé en minutes).

On admet que $𝑠$ est solution de l’équation différentielle (E) : s'(t) + 0,01s(t) = 0,39

1. Résoudre l’équation différentielle (E₁) : s'(t) + 0,01s(t) = 0.
2. Déterminer une fonction constante 𝑔 solution de l’équation (E).
3. Résoudre l’équation différentielle (E).
4. Considérant qu’à l’instant t = 0 où débute l’incident, la salinité de l’eau du réservoir était de 0,12 g.L⁻¹, montrer que l’on a : s(t) = 39 - 38,88e^(-0,01t).
5. Déduire du résultat précédent la salinité de l’eau 60 minutes après le début de l’incident. (Arrondir à 10⁻²).

u'(t) + 10³u(t) = 5 × 10³

Avec t ≥ 0.

1. Résoudre l’équation différentielle (E₀) : u'(t) + 10³u(t) = 0.
2. Déterminer une solution constante 𝑔 solution de (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de (E).
4. Déterminer la solution 𝑣 satisfaisant à la condition initiale v(0) = 0.

Exercice : Mathématique BTS Nathan technique

Pour tester la résistance à la chaleur d’une plaque d’isolation phonique, on porte en laboratoire sa température à 100°C et on étudie l’évaluation de sa température en fonction du temps (en minutes).

La température ambiante du laboratoire est de 19°C et après 6 minutes, la température est redescendue à 82°C.

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