Exercice Supplémentaire 4:
On considère l'équation différentielle $(E) : y'-2y=e^{2x}$ :
- Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x.e^{2x}$ est solution de (E).
- Résoudre l'équation différentielle homogène associée et en déduire toutes les solutions de (E).
- Déterminer la solution qui prend la valeur 1 en 0.
Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x e^{2x}$ est solution de (E).
- Calculer la dérivée de la fonction $f$.
- Remplacer y' par $f'$ et $y$ par $f$
- Retrouver le terme de droite
$$f(x)=x.e^{2x}$$
On a $f$ une fonction du type $(uv)' = u'v+uv'$
$$u(x) = x \quad u'(x) = 1$$
$$v(x) = e^{2x} \quad v'(x) = 2e^{-2x}$$
$$f'(x) = 1.e^{2x}+x.2e^{2x}$$
$$f'(x) = 1.e^{2x}+2xe^{2x}$$
$$y'-2y \ =\ \left(1.e^{2x}+2xe^{2x}\right ) -2(x e^{2x})$$
$$y'-2y \ =\ 1.e^{2x}+2xe^{2x} -2x e^{2x}$$
$$y'-2y \ =\ 1.e^{2x}$$
f est bien solution de l'équation différentielle
Résoudre l'équation différentielle homogène associée et en déduire toutes les solutions de (E).
$$ y'-2y=0$$
$$ y'= 2y $$
$$ y = \ Ce^{2x}$$
en déduire toutes les solutions de (E)
$$y= Ce^{2x}\ + x e^{2x} $$